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Theorem climcau 14608
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcau ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5458 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 4785 . . . . 5 (𝐹𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 742 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 rphalfcl 12060 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
76adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8 eqidd 2771 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simplr 744 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑦)
104, 5, 7, 8, 9climi 14448 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11 eluzelz 11897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 uzid 11902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1413, 4eleq2s 2867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1514adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
16 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1816fvoveq1d 6814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
1918breq1d 4794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
2017, 19anbi12d 608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2120rspcv 3454 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23 rpre 12041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2423ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
25 simpllr 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹𝑦)
26 climcl 14437 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
28 simprl 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
29 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
30 simpllr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 simplll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 simprr 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3330, 29abssubd 14399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
34 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3533, 34eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))
3628, 29, 30, 31, 32, 35abs3lemd 14407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3736ex 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3837ralimdv 3111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938ex 397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4124, 27, 40syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4222, 41mpdd 43 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4342reximdva 3164 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4410, 43mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4544ralrimiva 3114 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4645ex 397 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
473, 46syl5bir 233 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4847exlimdv 2012 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
492, 48syl5 34 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5049imp 393 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  cop 4320   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  abscabs 14181  cli 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426
This theorem is referenced by:  climbdd  14609  caucvgb  14617  cvgcmp  14754  cvgcmpce  14756  mbflimlem  23653  mtest  24377  climlimsup  40504  ioodvbdlimc1lem1  40658
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