Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climabs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climabs0 14523
 Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climabs0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climabs0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3 (𝜑𝐹𝑉)
climabs0.4 (𝜑𝐺𝑊)
climabs0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climabs0 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climabs0.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 11905 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3 climabs0.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4 absidm 14270 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
65breq1d 4794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
72, 6sylan2 572 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
87anassrs 458 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
98ralbidva 3133 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
109rexbidva 3196 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
1110ralbidv 3134 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
12 climabs0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 climabs0.4 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
14 climabs0.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
153abscld 14382 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1615recnd 10269 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
171, 12, 13, 14, 16clim0c 14445 . 2 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥))
18 climabs0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
19 eqidd 2771 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
201, 12, 18, 19, 3clim0c 14445 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2111, 17, 203bitr4rd 301 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  ℂcc 10135  0cc0 10137   < clt 10275  ℤcz 11578  ℤ≥cuz 11887  ℝ+crp 12034  abscabs 14181   ⇝ cli 14422 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426 This theorem is referenced by:  expcnv  14802  explecnv  14803  plyeq0lem  24185  lgamcvg2  25001
 Copyright terms: Public domain W3C validator