MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser 14584
Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2ser.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2ser.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2849 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 11934 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzelz 11889 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 clim2ser.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 11884 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
133, 11, 12serf 13023 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6523 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 12997 . . 3 seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ∈ V)
1713adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
186, 3syl6eleqr 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
193uztrn2 11897 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2018, 19sylan 489 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2117, 20ffvelrnd 6523 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
22 addcl 10210 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
2322adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
24 addass 10215 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
2524adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
26 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
274adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
28 elfzuz 12531 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2928, 3syl6eleqr 2850 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3029, 12sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3130adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3223, 25, 26, 27, 31seqsplit 13028 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
3332oveq1d 6828 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
3414adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
353uztrn2 11897 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
3618, 35sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
3736, 12syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
381, 8, 37serf 13023 . . . . 5 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6522 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4034, 39pncan2d 10586 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗))
4133, 40eqtr2d 2795 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
421, 8, 9, 14, 16, 21, 41climsubc1 14567 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  seqcseq 12995  cli 14414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418
This theorem is referenced by:  iserex  14586  ege2le3  15019  abelthlem9  24393  stirlinglem7  40800  stirlinglem11  40804  stirlinglem12  40805
  Copyright terms: Public domain W3C validator