Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim1fr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim1fr1 40354
 Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim1fr1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11936 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11620 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nnex 11238 . . . . . 6 ℕ ∈ V
43mptex 6651 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6 1cnd 10268 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9 id 22 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10 1cnd 10268 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
117, 8, 9, 10fvmptd 6451 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
1211adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
131, 2, 5, 6, 12climconst 14493 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14 clim1fr1.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
153mptex 6651 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
1614, 15eqeltri 2835 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
18 clim1fr1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 clim1fr1.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 nncn 11240 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2322adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24 clim1fr1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2524adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26 nnne0 11265 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2726adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2819, 21, 23, 25, 27divdiv1d 11044 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
2928mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
3018, 20, 24divcld 11013 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31 divcnv 14804 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
3329, 32eqbrtrrd 4828 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35 1cnd 10268 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35fmpti 6547 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6523 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
3921, 23mulcld 10272 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
4021, 23, 25, 27mulne0d 10891 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
4119, 39, 40divcld 11013 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42 eqid 2760 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
4341, 42fmptd 6549 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6523 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
4514a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))))
46 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
4746oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
4847, 46oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
4948adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
50 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
5120adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5250nncnd 11248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5351, 52mulcld 10272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
5418adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5553, 54addcld 10271 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
5624adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
5750nnne0d 11277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5851, 52, 56, 57mulne0d 10891 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
5955, 53, 58divcld 11013 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6045, 49, 50, 59fvmptd 6451 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
6153, 54, 53, 58divdird 11051 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6253, 58dividd 11011 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
6362oveq1d 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6461, 63eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
6512eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
66 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
67 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
6867oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
6968oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
7054, 53, 58divcld 11013 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7166, 69, 50, 70fvmptd 6451 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
7271eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
7365, 72oveq12d 6832 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
7460, 64, 733eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
751, 2, 13, 17, 33, 38, 44, 74climadd 14581 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (1 + 0))
76 1p0e1 11345 . 2 (1 + 0) = 1
7775, 76syl6breq 4845 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   / cdiv 10896  ℕcn 11232   ⇝ cli 14434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439 This theorem is referenced by:  wallispilem5  40807
 Copyright terms: Public domain W3C validator