MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatlem 17333
Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatlem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem
StepHypRef Expression
1 clatlem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatlem.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
3 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
4 fvex 6364 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) ∈ V
51, 4eqeltri 2836 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65elpw2 4978 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
76biimpri 218 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
87adantl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
9 clatlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
101, 2, 9isclat 17331 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1110biimpi 206 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
13 simpl 474 . . . . . 6 ((dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
1413adantl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
168, 15eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
171, 2, 3, 16lubcl 17207 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
1812simprrd 814 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
198, 18eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
201, 9, 3, 19glbcl 17220 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2117, 20jca 555 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  wss 3716  𝒫 cpw 4303  dom cdm 5267  cfv 6050  Basecbs 16080  Posetcpo 17162  lubclub 17164  glbcglb 17165  CLatccla 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-lub 17196  df-glb 17197  df-clat 17330
This theorem is referenced by:  clatlubcl  17334  clatglbcl  17336
  Copyright terms: Public domain W3C validator