MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatleglb 17347
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatglble 17346 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
543expa 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
653adantl2 1173 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
7 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 17337 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋𝐵)
111, 3clatglbcl 17335 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
12113adant2 1126 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1312adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
14 ssel 3738 . . . . . . 7 (𝑆𝐵 → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
15143ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
1615imp 444 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
171, 2lattr 17277 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1479 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
196, 18mpan2d 712 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑋 (𝐺𝑆) → 𝑋 𝑦))
2019ralrimdva 3107 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) → ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
211, 2, 3clatglb 17345 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
2221simprd 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)))
23 breq1 4807 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 𝑦𝑋 𝑦))
2423ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
25 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ 𝑋 (𝐺𝑆)))
2624, 25imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2726rspccv 3446 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2822, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2928ex 449 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → (𝑆𝐵 → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
3029com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat → (𝑋𝐵 → (𝑆𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
31303imp 1102 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))
3220, 31impbid 202 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  glbcglb 17164  Latclat 17266  CLatccla 17328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-oprab 6818  df-poset 17167  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-lat 17267  df-clat 17329
This theorem is referenced by:  clatglbss  17348  pmapglbx  35576  diaglbN  36864  dihglblem2N  37103  dihglbcpreN  37109  dihglblem6  37149  dochvalr  37166
  Copyright terms: Public domain W3C validator