MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbss 17328
Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) (𝐺𝑆))

Proof of Theorem clatglbss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2 simpl2 1230 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
3 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝑇)
43sselda 3744 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
5 clatglb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 clatglb.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 clatglb.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
85, 6, 7clatglble 17326 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → (𝐺𝑇) 𝑦)
91, 2, 4, 8syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑇) 𝑦)
109ralrimiva 3104 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦)
11 simp1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
125, 7clatglbcl 17315 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
13123adant3 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
14 sstr 3752 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇𝐵) → 𝑆𝐵)
1514ancoms 468 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
16153adant1 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
175, 6, 7clatleglb 17327 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐺𝑇) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝐺𝑇) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦))
1811, 13, 16, 17syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ((𝐺𝑇) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦))
1910, 18mpbird 247 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) (𝐺𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  glbcglb 17144  CLatccla 17308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-oprab 6817  df-poset 17147  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-lat 17247  df-clat 17309
This theorem is referenced by:  dochss  37156
  Copyright terms: Public domain W3C validator