MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglble 17332
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglble ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑋)

Proof of Theorem clatglble
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . 2 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simp1 1129 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatglbcl2 17322 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
653adant3 1125 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7 simp3 1131 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
81, 2, 3, 4, 6, 7glble 17207 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  glbcglb 17150  CLatccla 17314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-glb 17182  df-clat 17315
This theorem is referenced by:  clatleglb  17333  clatglbss  17334  diaglbN  36858  diaintclN  36861  dibglbN  36969  dibintclN  36970  dihglblem2N  37097  dihglblem4  37100  dihglbcpreN  37103  dochvalr  37160
  Copyright terms: Public domain W3C validator