MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl2 17337
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Proof of Theorem clatglbcl2
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 fvex 6364 . . . . . 6 (Base‘𝐾) ∈ V
31, 2eqeltri 2836 . . . . 5 𝐵 ∈ V
43elpw2 4978 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
54biimpri 218 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
65adantl 473 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
7 eqid 2761 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8 clatglbcl.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
91, 7, 8isclat 17331 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
10 simprr 813 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
119, 10sylbi 207 . . 3 (𝐾 ∈ CLat → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
1211adantr 472 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
136, 12eleqtrrd 2843 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  wss 3716  𝒫 cpw 4303  dom cdm 5267  cfv 6050  Basecbs 16080  Posetcpo 17162  lubclub 17164  glbcglb 17165  CLatccla 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-dm 5277  df-iota 6013  df-fv 6058  df-clat 17330
This theorem is referenced by:  isglbd  17339  clatglb  17346  clatglble  17347
  Copyright terms: Public domain W3C validator