Theorem cjth 13837

Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Proof of Theorem cjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cju 11013	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
2		riotasbc 6623	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
4		cjval 13836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5	4	sbceq1d 3438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
6	3, 5	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
7		fvex 6199	. . 3 ⊢ (∗‘𝐴) ∈ V
8		oveq2 6655	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
9	8	eleq1d 2685	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ))
10		oveq2 6655	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
11	10	oveq2d 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
12	11	eleq1d 2685	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
13	9, 12	anbi12d 747	. . 3 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
14	7, 13	sbcie 3468	. 2 ⊢ ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
15	6, 14	sylib 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∃!wreu 2913  [wsbc 3433  ‘cfv 5886  ℩crio 6607  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  ici 9935   + caddc 9936   · cmul 9938   − cmin 10263  ∗ccj 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-cj 13833

This theorem is referenced by:  recl  13844  crre  13848