Theorem cjsub 14109

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10494	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		cjadd 14101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)))
4		negsub 10542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + -𝐵)) = (∗‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cjneg 14107	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
7	6	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘-𝐵) = -(∗‘𝐵))
8	7	oveq2d 6831	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)))
9		cjcl 14065	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		cjcl 14065	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
11		negsub 10542	. . . 4 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2an 495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + -(∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘-𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐵)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℂcc 10147   + caddc 10152   − cmin 10479  -cneg 10480  ∗ccj 14056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-2 11292  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061

This theorem is referenced by:  sqabssub  14243  cjcn2  14550  mul4sqlem  15880  dvcjbr  23932  isosctrlem2  24770  atancj  24858  dipsubdi  28035  his2sub2  28281  sigarmf  41568