Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlevma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlevma 31051
 Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
circlevma.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlevma (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlevma
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlevma.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 11399 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 vmaf 25066 . . . . . . 7 Λ:ℕ⟶ℝ
5 ax-resscn 10206 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6 fss 6218 . . . . . . 7 ((Λ:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → Λ:ℕ⟶ℂ)
74, 5, 6mp2an 710 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℂ
8 cnex 10230 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 nnex 11239 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 elmapg 8039 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ))
118, 9, 10mp2an 710 . . . . . 6 (Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ Λ:ℕ⟶ℂ)
127, 11mpbir 221 . . . . 5 Λ ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ)
1312fconst6 6257 . . . 4 ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ)
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^3) × {Λ}):(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
151, 3, 14circlemeth 31049 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
16 c0ex 10247 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1716tpid1 4448 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
18 fzo0to3tp 12769 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eleqtrri 2839 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
20 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 0 ∈ (0..^3)))
2119, 20mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 ∈ (0..^3))
2212elexi 3354 . . . . . . 7 Λ ∈ V
2322fvconst2 6635 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
2421, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
25 fveq2 6354 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
2624, 25fveq12d 6360 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
27 1ex 10248 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2827tpid2 4449 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 18eleqtrri 2839 . . . . . . 7 1 ∈ (0..^3)
30 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 1 ∈ (0..^3)))
3129, 30mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 ∈ (0..^3))
3231, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
33 fveq2 6354 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3432, 33fveq12d 6360 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
35 2ex 11305 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3635tpid3 4451 . . . . . . . 8 2 ∈ {0, 1, 2}
3736, 18eleqtrri 2839 . . . . . . 7 2 ∈ (0..^3)
38 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝑎 = 2 → (𝑎 ∈ (0..^3) ↔ 2 ∈ (0..^3)))
3937, 38mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → 𝑎 ∈ (0..^3))
4039, 23syl 17 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
41 fveq2 6354 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
4240, 41fveq12d 6360 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
4323fveq1d 6356 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0..^3) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
4443adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (Λ‘(𝑛𝑎)))
457a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
46 ssid 3766 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℕ
4746a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
481nn0zd 11693 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4948adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
502nnnn0i 11513 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
52 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
5347, 49, 51, 52reprf 31021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
5453ffvelrnda 6524 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
5545, 54ffvelrnd 6525 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (Λ‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5644, 55eqeltrd 2840 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5726, 34, 42, 56prodfzo03 31012 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5857sumeq2dv 14653 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))))
5923adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((0..^3) × {Λ})‘𝑎) = Λ)
6059oveq1d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁) = (Λvts𝑁))
6160fveq1d 6356 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((Λvts𝑁)‘𝑥))
6261prodeq2dv 14873 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥))
63 fzofi 12988 . . . . . . 7 (0..^3) ∈ Fin
6463a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^3) ∈ Fin)
651adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
66 ioossre 12449 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℝ
6766, 5sstri 3754 . . . . . . . . 9 (0(,)1) ⊆ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
6968sselda 3745 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
707a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → Λ:ℕ⟶ℂ)
7165, 69, 70vtscl 31047 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
72 fprodconst 14928 . . . . . 6 (((0..^3) ∈ Fin ∧ ((Λvts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
7364, 71, 72syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((Λvts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))))
74 hashfzo0 13430 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7550, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(0..^3)) = 3
7675a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^3)) = 3)
7776oveq2d 6831 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(0..^3))) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7862, 73, 773eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3))
7978oveq1d 6830 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
8079itgeq2dv 23768 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((((0..^3) × {Λ})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
8115, 58, 803eqtr3d 2803 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) = ∫(0(,)1)((((Λvts𝑁)‘𝑥)↑3) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  {csn 4322  {ctp 4326   × cxp 5265  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  ℂcc 10147  ℝcr 10148  0cc0 10149  1c1 10150  ici 10151   · cmul 10154  -cneg 10480  ℕcn 11233  2c2 11283  3c3 11284  ℕ0cn0 11505  ℤcz 11590  (,)cioo 12389  ..^cfzo 12680  ↑cexp 13075  ♯chash 13332  Σcsu 14636  ∏cprod 14855  expce 15012  πcpi 15017  ∫citg 23607  Λcvma 25039  reprcrepr 31017  vtscvts 31044 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cc 9470  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-disj 4774  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-acn 8979  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-prod 14856  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-prm 15609  df-pc 15765  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-cmp 21413  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608  df-itg1 23609  df-itg2 23610  df-ibl 23611  df-itg 23612  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-vma 25045  df-repr 31018  df-vts 31045 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator