Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethnat 31053
Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses 𝑅, the number of different ways a nonnegative integer 𝑁 can be represented as the sum of at most 𝑆 integers in the set 𝐴 as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethnat.r 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
circlemethnat.f 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
circlemethnat.n 𝑁 ∈ ℕ0
circlemethnat.a 𝐴 ⊆ ℕ
circlemethnat.s 𝑆 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
circlemethnat 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem circlemethnat
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
2 circlemethnat.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ ℕ
3 indf 30411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
41, 2, 3mp2an 664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}
5 pr01ssre 29904 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 1} ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10194 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3759 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ⊆ ℂ
8 fss 6196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℂ) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
94, 7, 8mp2an 664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ
10 cnex 10218 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1110, 1elmap 8037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
129, 11mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ)
1312elexi 3362 . . . . . . . . . 10 ((𝟭‘ℕ)‘𝐴) ∈ V
1413fvconst2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0..^𝑆) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1514adantl 467 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
1615fveq1d 6334 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1716prodeq2dv 14859 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
1817sumeq2dv 14640 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
192a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℕ)
20 circlemethnat.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 circlemethnat.s . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11552 . . . . . 6 (⊤ → 𝑆 ∈ ℕ0)
2519, 21, 24hashrepr 31037 . . . . 5 (⊤ → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐𝑎)))
2618, 25eqtr4d 2807 . . . 4 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁)))
27 circlemethnat.r . . . 4 𝑅 = (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑁))
2826, 27syl6reqr 2823 . . 3 (⊤ → 𝑅 = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)))
2912fconst6 6235 . . . . 5 ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ)
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)}):(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
3121, 23, 30circlemeth 31052 . . 3 (⊤ → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)‘(𝑐𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
32 fzofi 12980 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
34 circlemethnat.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥)
3520a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 ioossre 12439 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ ℝ
3736, 6sstri 3759 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0(,)1) ⊆ ℂ)
3938sselda 3750 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
409a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((𝟭‘ℕ)‘𝐴):ℕ⟶ℂ)
4135, 39, 40vtscl 31050 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
4234, 41syl5eqel 2853 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43 fprodconst 14914 . . . . . . 7 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4433, 42, 43syl2anc 565 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))))
4514adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎) = ((𝟭‘ℕ)‘𝐴))
4645oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → ((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁) = (((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁))
4746fveq1d 6334 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((𝟭‘ℕ)‘𝐴)vts𝑁)‘𝑥))
4847, 34syl6reqr 2823 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐹 = (((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
4948prodeq2dv 14859 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐹 = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
5024adantr 466 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
51 hashfzo0 13418 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
5352oveq2d 6808 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (𝐹↑(♯‘(0..^𝑆))) = (𝐹𝑆))
5444, 49, 533eqtr3d 2812 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (𝐹𝑆))
5554oveq1d 6807 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = ((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
5655itgeq2dv 23767 . . 3 (⊤ → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((((0..^𝑆) × {((𝟭‘ℕ)‘𝐴)})‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5728, 31, 563eqtrd 2808 . 2 (⊤ → 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
5857trud 1640 1 𝑅 = ∫(0(,)1)((𝐹𝑆) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1630  wtru 1631  wcel 2144  Vcvv 3349  wss 3721  {csn 4314  {cpr 4316   × cxp 5247  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  ici 10139   · cmul 10142  -cneg 10468  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  (,)cioo 12379  ..^cfzo 12672  cexp 13066  chash 13320  Σcsu 14623  cprod 14841  expce 14997  πcpi 15002  citg 23605  𝟭cind 30406  reprcrepr 31020  vtscvts 31047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-prod 14842  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607  df-itg2 23608  df-ibl 23609  df-itg 23610  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ind 30407  df-repr 31021  df-vts 31048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator