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Theorem circlemethhgt 31061
Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethhgt.h (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlemethhgt (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt
Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethhgt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 11393 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 s3len 13848 . . . . . 6 (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩) = 3
54eqcomi 2780 . . . . 5 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩))
7 simprl 754 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 simprr 756 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 10274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11 vmaf 25066 . . . . . . . 8 Λ:ℕ⟶ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13 circlemethhgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
14 nnex 11232 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ∈ V)
16 inidm 3971 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
1710, 12, 13, 15, 15, 16off 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18 cnex 10223 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
1918, 14elmap 8042 . . . . . 6 ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
2017, 19sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
21 circlemethhgt.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
2210, 12, 21, 15, 15, 16off 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2318, 14elmap 8042 . . . . . 6 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2422, 23sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
2520, 24, 24s3cld 13826 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑𝑚 ℕ))
266, 25wrdfd 30956 . . 3 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
271, 3, 26circlemeth 31058 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0))
29 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
3028, 29fveq12d 6340 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
32 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3331, 32fveq12d 6340 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
35 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
3634, 35fveq12d 6340 . . . . 5 (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
3726adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
3837ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
39 elmapi 8035 . . . . . . 7 ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41 ssid 3773 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℕ
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
431nn0zd 11687 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4443adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
45 3nn0 11517 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
47 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
4842, 44, 46, 47reprf 31030 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
4948ffvelrnda 6504 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
5040, 49ffvelrnd 6505 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5130, 33, 36, 50prodfzo03 31021 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
52 ovex 6827 . . . . . . . 8 (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V
53 s3fv0 13845 . . . . . . . 8 ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
5554fveq1d 6335 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
56 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
57 c0ex 10240 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
5857tpid1 4440 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
59 fzo0to3tp 12762 . . . . . . . . . 10 (0..^3) = {0, 1, 2}
6058, 59eleqtrri 2849 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^3)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
6248, 61ffvelrnd 6505 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
63 ffn 6184 . . . . . . . . . 10 (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
6411, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Λ Fn ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Λ Fn ℕ)
6613ffnd 6185 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn ℕ)
67 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
68 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
6965, 66, 15, 15, 16, 67, 68ofval 7057 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
7056, 62, 69syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
7155, 70eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
72 ovex 6827 . . . . . . . . 9 (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V
73 s3fv1 13846 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
7574fveq1d 6335 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
76 1ex 10241 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
7776tpid2 4441 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7877, 59eleqtrri 2849 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7978a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
8048, 79ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
8121ffnd 6185 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 Fn ℕ)
82 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
83 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8465, 81, 15, 15, 16, 82, 83ofval 7057 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8556, 80, 84syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8675, 85eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
87 s3fv2 13847 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
8872, 87mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
8988fveq1d 6335 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
90 2ex 11298 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9190tpid3 4443 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9291, 59eleqtrri 2849 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
9448, 93ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
95 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
96 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
9765, 81, 15, 15, 16, 95, 96ofval 7057 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9856, 94, 97syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9989, 98eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
10086, 99oveq12d 6814 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
10171, 100oveq12d 6814 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
10251, 101eqtrd 2805 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103102sumeq2dv 14641 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
104 nfv 1995 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑥 ∈ (0(,)1))
105 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑎(((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
106 fzofi 12981 . . . . . . 7 (1..^3) ∈ Fin
107106a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
10857a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
109 eqid 2771 . . . . . . . . 9 0 = 0
110109orci 854 . . . . . . . 8 (0 = 0 ∨ 0 = 3)
111 0elfz 12644 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
112 elfznelfzob 12782 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
11345, 111, 112mp2b 10 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
114110, 113mpbir 221 . . . . . . 7 ¬ 0 ∈ (1..^3)
115114a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
1161ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117 ioossre 12440 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℝ
118 ax-resscn 10199 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
119117, 118sstri 3761 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
121120sselda 3752 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122121adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12326ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
124 fzo0ss1 12706 . . . . . . . . . . 11 (1..^3) ⊆ (0..^3)
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
126125sselda 3752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
127123, 126ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
128127, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
129116, 122, 128vtscl 31056 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
13052, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻)
13128, 130syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
132131oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁))
133132fveq1d 6335 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
1341adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13517adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
136134, 121, 135vtscl 31056 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
137104, 105, 107, 108, 115, 129, 133, 136fprodsplitsn 14926 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
138 uncom 3908 . . . . . . . 8 ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
139 fzo0sn0fzo1 12765 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
1402, 139ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
141138, 140eqtr4i 2796 . . . . . . 7 ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
142141a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
143142prodeq1d 14858 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
144 fzo13pr 12760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1..^3) = {1, 2}
145144eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
146 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎 ∈ V
147146elpr 4339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148145, 147bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
14931adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
15072, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
151149, 150eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
15234adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
15372, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
154152, 153eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
155151, 154jaodan 942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
156148, 155sylan2b 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
157156adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
158157oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁))
159158fveq1d 6335 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160159prodeq2dv 14860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
16122adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
162134, 121, 161vtscl 31056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
163 fprodconst 14915 . . . . . . . . 9 (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164107, 162, 163syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
165 nnuz 11930 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1662, 165eleqtri 2848 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (ℤ‘1)
167 hashfzo 13418 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ (ℤ‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
169 3m1e2 11344 . . . . . . . . . . 11 (3 − 1) = 2
170168, 169eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 (♯‘(1..^3)) = 2
171170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
172171oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173160, 164, 1723eqtrd 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
174173oveq1d 6811 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
175162sqcld 13213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
176136, 175mulcomd 10267 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
177174, 176eqtr4d 2808 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178137, 143, 1773eqtr3d 2813 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
179178oveq1d 6811 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
180179itgeq2dv 23768 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18127, 103, 1803eqtr3d 2813 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  wss 3723  {csn 4317  {cpr 4319  {ctp 4321   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  ici 10144   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473  cn 11226  2c2 11276  3c3 11277  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  (,)cioo 12380  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cexp 13067  chash 13321  ⟨“cs3 13796  Σcsu 14624  cprod 14842  expce 14998  πcpi 15003  citg 23606  Λcvma 25039  reprcrepr 31026  vtscvts 31053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-vma 25045  df-repr 31027  df-vts 31054
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