Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  circgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circgrp 24518
 Description: The circle group 𝑇 is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
circgrp.1 𝐶 = (abs “ {1})
circgrp.2 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
circgrp 𝑇 ∈ Abel

Proof of Theorem circgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
21fveq2d 6336 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
32cbvmptv 4882 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑦)))
4 circgrp.2 . . . 4 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶)
5 circgrp.1 . . . . . . . 8 𝐶 = (abs “ {1})
63, 5efifo 24513 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto𝐶
7 forn 6259 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto𝐶 → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶
98eqcomi 2779 . . . . 5 𝐶 = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
109oveq2i 6803 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
114, 10eqtri 2792 . . 3 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
12 ax-icn 10196 . . . 4 i ∈ ℂ
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → i ∈ ℂ)
14 resubdrg 20170 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1514simpli 470 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
16 subrgsubg 18995 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
193, 11, 13, 18efabl 24516 . 2 (⊤ → 𝑇 ∈ Abel)
2019trud 1640 1 𝑇 ∈ Abel
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2144  {csn 4314   ↦ cmpt 4861  ◡ccnv 5248  ran crn 5250   “ cima 5252  –onto→wfo 6029  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  1c1 10138  ici 10139   · cmul 10142  abscabs 14181  expce 14997   ↾s cress 16064  SubGrpcsubg 17795  Abelcabl 18400  mulGrpcmgp 18696  DivRingcdr 18956  SubRingcsubrg 18985  ℂfldccnfld 19960  ℝfldcrefld 20166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator