MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cicrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cicrcl 16664
Description: Isomorphism implies the right side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicrcl ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem cicrcl
StepHypRef Expression
1 cicfval 16658 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
21breqd 4815 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3 isofn 16636 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4 fvex 6362 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ∈ V
5 sqxpexg 7128 . . . . . 6 ((Base‘𝐶) ∈ V → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
7 0ex 4942 . . . . . 6 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
9 df-br 4805 . . . . . 6 (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
10 elsuppfn 7471 . . . . . 6 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
119, 10syl5bb 272 . . . . 5 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
123, 6, 8, 11syl3anc 1477 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
13 opelxp2 5308 . . . . 5 (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
1413adantr 472 . . . 4 ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
1512, 14syl6bi 243 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
162, 15sylbid 230 . 2 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑆 ∈ (Base‘𝐶)))
1716imp 444 1 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058  cop 4327   class class class wbr 4804   × cxp 5264   Fn wfn 6044  cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463  Basecbs 16059  Catccat 16526  Isociso 16607  𝑐 ccic 16656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-inv 16609  df-iso 16610  df-cic 16657
This theorem is referenced by:  cicsym  16665  cictr  16666  initoeu2  16867
  Copyright terms: Public domain W3C validator