MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ciclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ciclcl 16684
Description: Isomorphism implies the left side is an object. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ciclcl ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))

Proof of Theorem ciclcl
StepHypRef Expression
1 cicfval 16679 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → ( ≃𝑐𝐶) = ((Iso‘𝐶) supp ∅))
21breqd 4816 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆))
3 isofn 16657 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
4 fvex 6364 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ∈ V
5 sqxpexg 7130 . . . . . 6 ((Base‘𝐶) ∈ V → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
64, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V)
7 0ex 4943 . . . . . 6 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
9 df-br 4806 . . . . . 6 (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ ⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅))
10 elsuppfn 7473 . . . . . 6 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Iso‘𝐶) supp ∅) ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
119, 10syl5bb 272 . . . . 5 (((Iso‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
123, 6, 8, 11syl3anc 1477 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆 ↔ (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅)))
13 opelxp1 5308 . . . . 5 (⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
1413adantr 472 . . . 4 ((⟨𝑅, 𝑆⟩ ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) ∧ ((Iso‘𝐶)‘⟨𝑅, 𝑆⟩) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
1512, 14syl6bi 243 . . 3 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅((Iso‘𝐶) supp ∅)𝑆𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
162, 15sylbid 230 . 2 (𝐶 ∈ Cat → (𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆𝑅 ∈ (Base‘𝐶)))
1716imp 444 1 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐𝐶)𝑆) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2140  wne 2933  Vcvv 3341  c0 4059  cop 4328   class class class wbr 4805   × cxp 5265   Fn wfn 6045  cfv 6050  (class class class)co 6815   supp csupp 7465  Basecbs 16080  Catccat 16547  Isociso 16628  𝑐 ccic 16677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-inv 16630  df-iso 16631  df-cic 16678
This theorem is referenced by:  cicsym  16686  cictr  16687  cicer  16688  initoeu2  16888
  Copyright terms: Public domain W3C validator