MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem2 25283
Description: Lemma for chtppilim 25284. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem chtppilimlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
2 2re 11203 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 elicopnf 12383 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
51, 4sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 0red 10154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
82a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11225 . . . . . . . . 9 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
115simprd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
127, 8, 6, 10, 11ltletrd 10310 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
136, 12elrpd 11983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
14 chtppilim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514rpred 11986 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1713, 16rpcxpcld 24596 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
18 ppinncl 25020 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
2019nnrpd 11984 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
2117, 20rpdivcld 12003 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
2221ralrimiva 3068 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
23 chtppilim.2 . . . 4 (𝜑𝐴 < 1)
24 1re 10152 . . . . 5 1 ∈ ℝ
25 difrp 11982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2615, 24, 25sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ (1 − 𝐴) ∈ ℝ+))
2723, 26mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
28 ovexd 6795 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ∈ V)
2924a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
30 1lt2 11307 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
3229, 8, 6, 31, 11ltletrd 10310 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
336, 32rplogcld 24495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3413, 33rpdivcld 12003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3534, 20rpdivcld 12003 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) ∈ ℝ+)
3627adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
3736rpred 11986 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
3813, 37rpcxpcld 24596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3933, 38rpdivcld 12003 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
40 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))))
41 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4228, 35, 39, 40, 41offval2 7031 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))))
4334rpcnd 11988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4439rpcnd 11988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
4520rpcnne0d 11995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0))
46 div23 10817 . . . . . . . 8 (((𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (π𝑥) ≠ 0)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))))
4833rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
4938rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0))
506recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51 dmdcan 10848 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑐(1 − 𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5343, 44mulcomd 10174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) · (𝑥 / (log‘𝑥))))
5413rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
55 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5736rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
58 cxpsub 24548 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6016recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
61 nncan 10423 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6255, 60, 61sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
6362oveq2d 6781 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 − (1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6459, 63eqtr3d 2760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥𝑐𝐴))
6550cxp1d 24572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
6665oveq1d 6780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐1) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6764, 66eqtr3d 2760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐𝐴) = (𝑥 / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))
6852, 53, 673eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = (𝑥𝑐𝐴))
6968oveq1d 6780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) / (π𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7047, 69eqtr3d 2760 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
7170mpteq2dva 4852 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥)) · ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
7242, 71eqtrd 2758 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
73 chebbnd1 25281 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1)
7413ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
7574ssrdv 3715 . . . . . 6 (𝜑 → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
76 cxploglim 24824 . . . . . . 7 ((1 − 𝐴) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7727, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
7875, 77rlimres2 14412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0)
79 o1rlimmul 14469 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8073, 78, 79sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (log‘𝑥)) / (π𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 − 𝐴))))) ⇝𝑟 0)
8172, 80eqbrtrrd 4784 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) ⇝𝑟 0)
8222, 27, 81rlimi 14364 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)))
8321rpcnd 11988 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℂ)
8483subid1d 10494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8584fveq2d 6308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))))
8621rpred 11986 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) ∈ ℝ)
8721rpge0d 11990 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8886, 87absidd 14281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
8985, 88eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)))
9089breq1d 4770 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) ↔ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴)))
9114adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9223adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝐴 < 1)
93 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
94 simprr 813 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))
9591, 92, 93, 94chtppilimlem1 25282 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ ((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴))) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))
9695expr 644 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9790, 96sylbid 230 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴) → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
9897imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → (𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
9998ralimdva 3064 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10099reximdv 3118 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((𝑥𝑐𝐴) / (π𝑥)) − 0)) < (1 − 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥))))
10182, 100mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → ((𝐴↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054  +∞cpnf 10184   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  +crp 11946  [,)cico 12291  cexp 12975  abscabs 14094  𝑟 crli 14336  𝑂(1)co1 14337  logclog 24421  𝑐ccxp 24422  θccht 24937  πcppi 24940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-o1 14341  df-lo1 14342  df-sum 14537  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509  df-pc 15665  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424  df-cht 24943  df-ppi 24946
This theorem is referenced by:  chtppilim  25284
  Copyright terms: Public domain W3C validator