MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilimlem1 25361
Description: Lemma for chtppilim 25363. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
chtppilim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chtppilim.2 (𝜑𝐴 < 1)
chtppilim.3 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
chtppilim.4 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
Assertion
Ref Expression
chtppilimlem1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))

Proof of Theorem chtppilimlem1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chtppilim.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 12065 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 10260 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43sqvald 13199 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
54oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))))
6 chtppilim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (2[,)+∞))
7 2re 11282 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
8 elicopnf 12462 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
106, 9sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
1110simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 ppicl 25056 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11544 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ)
1514recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℂ)
16 0red 10233 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
177a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 11304 . . . . . . . . 9 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
2010simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
2116, 17, 11, 19, 20ltletrd 10389 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2211, 21elrpd 12062 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2322relogcld 24568 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2423recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
253, 3, 15, 24mul4d 10440 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
265, 25eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) = ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
272, 14remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) ∈ ℝ)
282, 23remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
2927, 28remulcld 10262 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
3022, 2rpcxpcld 24675 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
3130rpred 12065 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
32 ppicl 25056 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11544 . . . . 5 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
3514, 34resubcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) ∈ ℝ)
3635, 28remulcld 10262 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
37 chtcl 25034 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
3811, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (θ‘𝑁) ∈ ℝ)
39 1red 10247 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
40 1lt2 11386 . . . . . . . 8 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 2)
4239, 17, 11, 41, 20ltletrd 10389 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
4311, 42rplogcld 24574 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
441, 43rpmulcld 12081 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
4514, 31resubcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
46 ppinncl 25099 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℕ)
4831, 47nndivred 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) ∈ ℝ)
49 chtppilim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁)) < (1 − 𝐴))
5048, 39, 2, 49ltsub13d 10825 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5131recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ)
5247nnrpd 12063 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π𝑁) ∈ ℝ+)
5352rpcnne0d 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0))
54 divsubdir 10913 . . . . . . . . 9 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℂ ∧ ((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0)) → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5515, 51, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
56 divid 10906 . . . . . . . . . 10 (((π𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑁) ≠ 0) → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5753, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π𝑁) / (π𝑁)) = 1)
5857oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((π𝑁) / (π𝑁)) − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
5955, 58eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)) = (1 − ((𝑁𝑐𝐴) / (π𝑁))))
6050, 59breqtrrd 4832 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁)))
612, 45, 52ltmuldivd 12112 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) ↔ 𝐴 < (((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) / (π𝑁))))
6260, 61mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)))
63 ppiltx 25102 . . . . . . 7 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ+ → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6430, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (π‘(𝑁𝑐𝐴)) < (𝑁𝑐𝐴))
6534, 31, 14, 64ltsub2dd 10832 . . . . 5 (𝜑 → ((π𝑁) − (𝑁𝑐𝐴)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6627, 45, 35, 62, 65lttrd 10390 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (π𝑁)) < ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
6727, 35, 44, 66ltmul1dd 12120 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
68 fzfid 12966 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
69 inss1 3976 . . . . . 6 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))
70 ssfi 8345 . . . . . 6 (((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁))) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72 inss2 3977 . . . . . . . 8 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
73 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7472, 73sseldi 3742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
75 prmnn 15590 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7675nnrpd 12063 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
7774, 76syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
7877relogcld 24568 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7971, 78fsumrecl 14664 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℝ)
8028recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
81 fsumconst 14721 . . . . . . 7 ((((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
8271, 80, 81syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
83 ppifl 25085 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
8411, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
85 ppifl 25085 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8631, 85syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) = (π‘(𝑁𝑐𝐴)))
8784, 86oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))))
8839, 11, 42ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
89 chtppilim.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 1)
90 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
91 ltle 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
922, 90, 91sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 1 → 𝐴 ≤ 1))
9389, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ≤ 1)
9411, 88, 2, 39, 93cxplead 24666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ (𝑁𝑐1))
9511recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9695cxp1d 24651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑐1) = 𝑁)
9794, 96breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁)
98 flword2 12808 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
9931, 11, 97, 98syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))))
100 ppidif 25088 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴))) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘(⌊‘(𝑁𝑐𝐴)))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
10287, 101eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (𝜑 → ((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) = (♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
103102oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) = ((♯‘((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10482, 103eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) = (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))))
10528adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
10631adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ)
107 reflcl 12791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
108 peano2re 10401 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10931, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
110109adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11177rpred 12065 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
112 fllep1 12796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11331, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
114113adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1))
11569, 73sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)))
116 elfzle1 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ≤ 𝑝)
118106, 110, 111, 114, 117letrd 10386 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑁𝑐𝐴) ≤ 𝑝)
11922rpne0d 12070 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12095, 119, 3cxpefd 24657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))))
121120eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
122121adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) = (𝑁𝑐𝐴))
12377reeflogd 24569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
124118, 122, 1233brtr4d 4836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝)))
125 efle 15047 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑝) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
126105, 78, 125syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → ((𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝) ↔ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑝))))
127124, 126mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ (log‘𝑝))
12871, 105, 78, 127fsumle 14730 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(𝐴 · (log‘𝑁)) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
129104, 128eqbrtrrd 4828 . . . 4 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
130 fzfid 12966 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin)
131 inss1 3976 . . . . . . 7 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))
132 ssfi 8345 . . . . . . 7 (((1...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...(⌊‘𝑁))) → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
133130, 131, 132sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
134 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
135 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
136134, 135sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
137 prmuz2 15610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
139 eluz2b2 11954 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
140138, 139sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
141140simpld 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
142141nnred 11227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
143140simprd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 1 < 𝑝)
144142, 143rplogcld 24574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
145144rpred 12065 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
146144rpge0d 12069 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) → 0 ≤ (log‘𝑝))
14730rpge0d 12069 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴))
148 flge0nn0 12815 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑐𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑐𝐴)) → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
14931, 147, 148syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0)
150 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
152 nnuz 11916 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
153151, 152syl6eleq 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
154 fzss1 12573 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) → (((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)))
155 ssrin 3981 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ⊆ (1...(⌊‘𝑁)) → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
156153, 154, 1553syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
157133, 145, 146, 156fsumless 14727 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
158 chtval 25035 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
15911, 158syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
160 2eluzge1 11927 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
161 ppisval2 25030 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16211, 160, 161sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
163162sumeq1d 14630 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
164159, 163eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((1...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
165157, 164breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘(𝑁𝑐𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ (θ‘𝑁))
16636, 79, 38, 129, 165letrd 10386 . . 3 (𝜑 → (((π𝑁) − (π‘(𝑁𝑐𝐴))) · (𝐴 · (log‘𝑁))) ≤ (θ‘𝑁))
16729, 36, 38, 67, 166ltletrd 10389 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · (π𝑁)) · (𝐴 · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
16826, 167eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) · ((π𝑁) · (log‘𝑁))) < (θ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cuz 11879  +crp 12025  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  ...cfz 12519  cfl 12785  cexp 13054  chash 13311  Σcsu 14615  expce 14991  cprime 15587  logclog 24500  𝑐ccxp 24501  θccht 25016  πcppi 25019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-prm 15588  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-cht 25022  df-ppi 25025
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  25362
  Copyright terms: Public domain W3C validator