MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrrhm 20100
Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrrhm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))

Proof of Theorem chrrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 18935 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2769 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
32zrhrhm 20081 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5 zringbas 20045 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
6 eqid 2769 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
75, 6rhmf 18942 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
8 ffn 6184 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
94, 7, 83syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
10 eqid 2769 . . . . . . 7 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1110chrcl 20095 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
12 nn0z 11600 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
131, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
14 fvco2 6414 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
159, 13, 14syl2anc 693 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
16 eqid 2769 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1710, 2, 16chrid 20096 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
1918fveq2d 6335 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2015, 19eqtrd 2803 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
21 rhmco 18953 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
224, 21mpdan 702 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
23 rhmrcl2 18936 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
24 eqid 2769 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑆) = (ℤRHom‘𝑆)
2524zrhrhmb 20080 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2722, 26mpbid 222 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆))
2827fveq1d 6333 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)))
29 rhmghm 18941 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30 eqid 2769 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3116, 30ghmid 17880 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3229, 31syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3320, 28, 323eqtr3d 2811 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆))
34 eqid 2769 . . . 4 (chr‘𝑆) = (chr‘𝑆)
3534, 24, 30chrdvds 20097 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3623, 13, 35syl2anc 693 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3733, 36mpbird 247 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1629  wcel 2143   class class class wbr 4783  ccom 5252   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791  0cn0 11492  cz 11577  cdvds 15194  Basecbs 16070  0gc0g 16314   GrpHom cghm 17871  Ringcrg 18761   RingHom crh 18928  ringzring 20039  ℤRHomczrh 20069  chrcchr 20071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-dvds 15195  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-0g 16316  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-mhm 17549  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-mulg 17755  df-subg 17805  df-ghm 17872  df-od 18161  df-cmn 18408  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-cring 18764  df-rnghom 18931  df-subrg 18994  df-cnfld 19968  df-zring 20040  df-zrh 20073  df-chr 20075
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator