MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsumbin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsumbin 20822
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.g𝑃)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.g𝐻)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invg𝑅)
chpscmatgsum.s · = ( ·𝑠𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsumbin (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6 chp0mat.m . . 3 = (.g𝐺)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9 chpscmat.m . . 3 = (-g𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chpscmat0 20821 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
11 crngring 18729 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2748 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
144, 2, 13vr1cl 19760 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1615adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1711ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2748 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
192ply1ring 19791 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
202ply1lmod 19795 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2748 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
228, 18, 19, 20, 21, 13asclf 19510 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
2317, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
24 simpr2 1212 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝐽𝑁)
25 elrabi 3487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
2726, 7eleq2s 2845 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
28273ad2ant1 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
2928impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
30 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
313, 30matecl 20404 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3224, 24, 29, 31syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
332ply1sca 19796 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3433adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3534eqcomd 2754 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3635adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3736fveq2d 6344 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
3832, 37eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3923, 38ffvelrnd 6511 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
40 eqid 2748 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
41 eqid 2748 . . . . . 6 (invg𝑃) = (invg𝑃)
4213, 40, 41, 9grpsubval 17637 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
4316, 39, 42syl2anc 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
4412, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
4544adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ LMod)
4612, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
4746adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ Ring)
48 eqid 2748 . . . . . . . 8 (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
498, 18, 21, 48, 41asclinvg 19514 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
5045, 47, 38, 49syl3anc 1463 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
51 chpscmatgsum.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝑅)
5234fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (invg𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
5352adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
5451, 53syl5req 2795 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐼)
5554fveq1d 6342 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽)) = (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))
5655fveq2d 6344 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
5750, 56eqtrd 2782 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
5857oveq2d 6817 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
5943, 58eqtrd 2782 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
6059oveq2d 6817 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = ((♯‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))))
61 simplr 809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ CRing)
62 hashcl 13310 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
6362ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
64 ringgrp 18723 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6511, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
6665ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
6730, 51grpinvcl 17639 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
6866, 32, 67syl2anc 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
69 eqid 2748 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
70 chpscmatgsum.f . . . . 5 𝐹 = (.g𝑃)
71 chpscmatgsum.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
72 chpscmatgsum.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
732, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72lply1binomsc 19850 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((♯‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))))
7461, 63, 68, 73syl3anc 1463 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))))
752ply1assa 19742 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
7675adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
7776ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑃 ∈ AssAlg)
7871ringmgp 18724 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
7912, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
8079ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
81 fznn0sub 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
8281adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
8371, 30mgpbas 18666 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
8468, 83syl6eleq 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
8584adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
86 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8786, 72mulgnn0cl 17730 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻)) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
8880, 82, 85, 87syl3anc 1463 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
8935fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
9089, 83syl6eq 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9190ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9288, 91eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
935ringmgp 18724 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
9411, 19, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
9594ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
96 elfznn0 12597 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
9796adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
9815adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
995, 13mgpbas 18666 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
10099, 6mulgnn0cl 17730 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑙 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10195, 97, 98, 100syl3anc 1463 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
102101adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
103 chpscmatgsum.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑃)
1048, 18, 21, 13, 69, 103asclmul1 19512 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))
10577, 92, 102, 104syl3anc 1463 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))
106105oveq2d 6817 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))) = (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))
107106mpteq2dva 4884 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))))
108107oveq2d 6817 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
10974, 108eqtrd 2782 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
11010, 60, 1093eqtrd 2786 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  {crab 3042  ifcif 4218  cmpt 4869  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  0cc0 10099  cmin 10429  0cn0 11455  ...cfz 12490  Ccbc 13254  chash 13282  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274  Mndcmnd 17466  Grpcgrp 17594  invgcminusg 17595  -gcsg 17596  .gcmg 17712  mulGrpcmgp 18660  Ringcrg 18718  CRingccrg 18719  LModclmod 19036  AssAlgcasa 19482  algSccascl 19484  var1cv1 19719  Poly1cpl1 19720   Mat cmat 20386   CharPlyMat cchpmat 20804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1602  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-word 13456  df-lsw 13457  df-concat 13458  df-s1 13459  df-substr 13460  df-splice 13461  df-reverse 13462  df-s2 13764  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-prds 16281  df-pws 16283  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-gim 17873  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-symg 17969  df-pmtr 18033  df-psgn 18082  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-srg 18677  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-rnghom 18888  df-drng 18922  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-assa 19485  df-ascl 19487  df-psr 19529  df-mvr 19530  df-mpl 19531  df-opsr 19533  df-psr1 19723  df-vr1 19724  df-ply1 19725  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zrh 20025  df-dsmm 20249  df-frlm 20264  df-mamu 20363  df-mat 20387  df-mdet 20564  df-mat2pmat 20685  df-chpmat 20805
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  20823
  Copyright terms: Public domain W3C validator