MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat1dlem 20688
Description: Lemma for chpmat1d 20689. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmat1d.z = (-g𝑃)
chpmat1d.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19666 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1102 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 8079 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 589 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 20283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
16 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1714, 15, 16vr1cl 19635 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
18173ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1973ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) ∈ V
211oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2211, 21eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2322matsca2 20274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ V) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2419, 20, 23sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2524eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1𝑅))
2625fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1𝑅)))
2718, 26eleqtrrd 2733 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
2811matring 20297 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31 eqid 2651 . . . . . . 7 (1r𝐺) = (1r𝐺)
3230, 31ringidcl 18614 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3413, 27, 333jca 1261 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36 eqid 2651 . . . . 5 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
37 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 18928 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40 simp1 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1083 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
4219, 40, 413jca 1261 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 20579 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48 snidg 4239 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2719 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 247 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑁𝐼𝑁)
5452, 53jccir 561 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
55543ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
56 eqid 2651 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
57 chpmat1d.z . . . 4 = (-g𝑃)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 20288 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
60 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6114, 1, 60vr1cl 19635 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62613ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63 eqid 2651 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 20290 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
66 eqid 2651 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
67 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
68523ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 20302 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)))
70 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃))
7269, 71eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = (1r𝑃))
7372oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
7460, 63, 66ringridm 18618 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2689 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algSc‘𝑃)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 20578 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 694 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 6708 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2685 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  ifcif 4119  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  -gcsg 17471  1rcur 18547  Ringcrg 18593  LModclmod 18911  algSccascl 19359  var1cv1 19594  Poly1cpl1 19595   Mat cmat 20261   matToPolyMat cmat2pmat 20557   CharPlyMat cchpmat 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262  df-mat2pmat 20560
This theorem is referenced by:  chpmat1d  20689
  Copyright terms: Public domain W3C validator