MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpidmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpidmat 20874
Description: The characteristic polynomial of the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpidmat.i 𝐼 = (1r𝐴)
chpidmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpidmat.1 1 = (1r𝑅)
chpidmat.m = (-g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpidmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶𝐼) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 ))))

Proof of Theorem chpidmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3 crngring 18778 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 chp0mat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 20471 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
63, 5sylan2 492 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8 chpidmat.i . . . . 5 𝐼 = (1r𝐴)
97, 8ringidcl 18788 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
106, 9syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
11 chpidmat.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
12 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
131ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑁 ∈ Fin)
143adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
1514ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simplrl 819 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑁)
17 simplrr 820 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑁)
184, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 8mat1ov 20476 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)))
19 ifnefalse 4242 . . . . . . 7 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2019adantl 473 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2118, 20eqtrd 2794 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝐼𝑗) = (0g𝑅))
2221ex 449 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g𝑅)))
2322ralrimivva 3109 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g𝑅)))
24 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
25 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
26 chpidmat.s . . . 4 𝑆 = (algSc‘𝑃)
27 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
28 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29 eqid 2760 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
3024, 25, 4, 26, 7, 27, 12, 28, 29chpdmat 20868 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝐼𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
311, 2, 10, 23, 30syl31anc 1480 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶𝐼) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))))
321adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
3314adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
354, 11, 12, 32, 33, 34, 34, 8mat1ov 20476 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g𝑅)))
36 eqid 2760 . . . . . . . . 9 𝑘 = 𝑘
3736iftruei 4237 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 𝑘, 1 , (0g𝑅)) = 1
3835, 37syl6eq 2810 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝐼𝑘) = 1 )
3938fveq2d 6357 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)) = (𝑆1 ))
4039oveq2d 6830 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))) = (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )))
4140mpteq2dva 4896 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘)))) = (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 ))))
4241oveq2d 6830 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )))))
4325ply1crng 19790 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
4428crngmgp 18775 . . . . . 6 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
45 cmnmnd 18428 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4746adantl 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
4825ply1ring 19840 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
49 ringgrp 18772 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
51 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5227, 25, 51vr1cl 19809 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑃) = (1r𝑃)
5425, 26, 11, 53ply1scl1 19884 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆1 ) = (1r𝑃))
5551, 53ringidcl 18788 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
5754, 56eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆1 ) ∈ (Base‘𝑃))
5850, 52, 573jca 1123 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
593, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
6059adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆1 ) ∈ (Base‘𝑃)))
6151, 29grpsubcl 17716 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆1 ) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) ∈ (Base‘𝑃))
6260, 61syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) ∈ (Base‘𝑃))
6328, 51mgpbas 18715 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6462, 63syl6eleq 2849 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) ∈ (Base‘𝐺))
65 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
66 chp0mat.m . . . . . 6 = (.g𝐺)
6765, 66gsumconst 18554 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )))) = ((♯‘𝑁) (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 ))))
68 chpidmat.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
6968eqcomi 2769 . . . . . . 7 (-g𝑃) =
7069oveqi 6827 . . . . . 6 (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) = (𝑋 (𝑆1 ))
7170oveq2i 6825 . . . . 5 ((♯‘𝑁) (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 ))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 )))
7267, 71syl6eq 2810 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 ))))
7347, 1, 64, 72syl3anc 1477 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆1 )))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 ))))
7442, 73eqtrd 2794 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)(𝑆‘(𝑘𝐼𝑘))))) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 ))))
7531, 74eqtrd 2794 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶𝐼) = ((♯‘𝑁) (𝑋 (𝑆1 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  ifcif 4230  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  chash 13331  Basecbs 16079  0gc0g 16322   Σg cgsu 16323  Mndcmnd 17515  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  .gcmg 17761  CMndccmn 18413  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768  algSccascl 19533  var1cv1 19768  Poly1cpl1 19769   Mat cmat 20435   CharPlyMat cchpmat 20853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509  df-splice 13510  df-reverse 13511  df-s2 13813  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-symg 18018  df-pmtr 18082  df-psgn 18131  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-vr1 19773  df-ply1 19774  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-mamu 20412  df-mat 20436  df-mdet 20613  df-mat2pmat 20734  df-chpmat 20854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator