MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem3 20865
Description: Lemma 3 for chpdmat 20866. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19833 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
43adantr 466 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8 chpdmat.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 chpdmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
10 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
11 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12 chpdmat.m . . . . . . 7 = (-g𝑃)
13 chpdmatlem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑄)
15 chpdmatlem.m . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑄)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 20862 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17163adant3 1126 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18 chpdmatlem.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1918, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 20751 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
2017, 19jca 501 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
2120adantr 466 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22 simpr 471 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
23 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-g𝑄)
2513, 23, 24, 12matsubgcell 20457 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
264, 21, 22, 22, 25syl112anc 1480 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
27 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
289, 1, 27vr1cl 19802 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
2928adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
301, 13pmatring 20718 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3123, 14ringidcl 18776 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3329, 32jca 501 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34333adant3 1126 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3534adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36 eqid 2771 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3713, 23, 27, 15, 36matvscacell 20459 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
384, 35, 22, 22, 37syl112anc 1480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
40 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
41 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
4213, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14mat1ov 20472 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)))
43 eqid 2771 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
4443iftruei 4233 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃)
4542, 44syl6eq 2821 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r𝑃))
4645oveq2d 6812 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
472, 28jca 501 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48473ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
4927, 36, 39ringridm 18780 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5150adantr 466 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5238, 46, 513eqtrd 2809 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
5318, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 20750 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5453anabsan2 653 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5552, 54oveq12d 6814 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
5626, 55eqtrd 2805 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  -gcsg 17632  mulGrpcmgp 18697  1rcur 18709  Ringcrg 18755  algSccascl 19526  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762   Mat cmat 20430   matToPolyMat cmat2pmat 20729   CharPlyMat cchpmat 20851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-mat2pmat 20732
This theorem is referenced by:  chpdmat  20866
  Copyright terms: Public domain W3C validator