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Theorem chpdifbndlem1 25463
Description: Lemma for chpdifbnd 25465. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
chpdifbnd.x (𝜑𝑋 ∈ (1(,)+∞))
chpdifbnd.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem1 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑚,𝐶   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑚)   𝐴(𝑧,𝑚)   𝐵(𝑚)   𝑋(𝑚)   𝑌(𝑚)

Proof of Theorem chpdifbndlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)))
2 ioossre 12440 . . . . . . . . . . 11 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
3 chpdifbnd.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (1(,)+∞))
42, 3sseldi 3750 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 chpdifbnd.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
65rpred 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76, 4remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
8 elicc2 12443 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
94, 7, 8syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋[,](𝐴 · 𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))))
101, 9mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋)))
1110simp1d 1136 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
12 chpcl 25071 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℝ)
14 chpcl 25071 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ∈ ℝ)
17 0red 10243 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18 1re 10241 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20 0lt1 10752 . . . . . . . . 9 0 < 1
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
22 eliooord 12438 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑋𝑋 < +∞))
233, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < 𝑋𝑋 < +∞))
2423simpld 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < 𝑋)
2517, 19, 4, 21, 24lttrd 10400 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑋)
264, 25elrpd 12072 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2726relogcld 24590 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
2816, 27remulcld 10272 . . . 4 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
29 2re 11292 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3011, 4resubcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
31 remulcl 10223 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
3332, 27remulcld 10272 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
34 chpdifbnd.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3534rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3611, 4readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ ℝ)
3735, 36remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ∈ ℝ)
385relogcld 24590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
39 remulcl 10223 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
4029, 38, 39sylancr 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
4140, 11remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℝ)
4237, 41readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
4333, 42readdcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ∈ ℝ)
44 chpdifbnd.c . . . . . . 7 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
45 peano2re 10411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
466, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4735, 46remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
48 remulcl 10223 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4929, 6, 48sylancr 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5049, 38remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5147, 50readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
5244, 51syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5352, 4remulcld 10272 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℝ)
5433, 53readdcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)) ∈ ℝ)
5513, 27remulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
56 fzfid 12980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
5710simp2d 1137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑌)
58 flword2 12822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
594, 11, 57, 58syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
60 fzss2 12588 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑌) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)) → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑋)) ⊆ (1...(⌊‘𝑌)))
6261sselda 3752 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)))
63 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6463adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ)
65 vmacl 25065 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
67 nndivre 11258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
684, 63, 67syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ)
69 chpcl 25071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7166, 70remulcld 10272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
7262, 71syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
7356, 72fsumrecl 14673 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
7455, 73readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
75 remulcl 10223 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑋) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
7629, 27, 75sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
7776, 35resubcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ∈ ℝ)
7877, 4remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ∈ ℝ)
795, 26rpmulcld 12091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ+)
8079relogcld 24590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ)
81 remulcl 10223 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ) → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
8229, 80, 81sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) ∈ ℝ)
8335, 82readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ∈ ℝ)
8483, 11remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) ∈ ℝ)
8515, 27remulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
8685, 73readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
8717, 4, 11, 25, 57ltletrd 10399 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑌)
8811, 87elrpd 12072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
8988relogcld 24590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
9013, 89remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
91 fzfid 12980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
92 nndivre 11258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
9311, 63, 92syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ)
94 chpcl 25071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑌 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9666, 95remulcld 10272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
9791, 96fsumrecl 14673 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))) ∈ ℝ)
9890, 97readdcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
99 chpge0 25073 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
10011, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (ψ‘𝑌))
10126, 88logled 24594 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌)))
10257, 101mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘𝑋) ≤ (log‘𝑌))
10327, 89, 13, 100, 102lemul2ad 11166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ≤ ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
10491, 71fsumrecl 14673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℝ)
105 vmage0 25068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
10664, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
107 chpge0 25073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
10868, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
10966, 70, 106, 108mulge0d 10806 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
11091, 71, 109, 61fsumless 14735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
1114adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11211adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
11364nnrpd 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
11457adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑋𝑌)
115111, 112, 113, 114lediv1dd 12133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛))
116 chpwordi 25104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑋 / 𝑛) ≤ (𝑌 / 𝑛)) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
11768, 93, 115, 116syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑋 / 𝑛)) ≤ (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
11870, 95, 66, 106, 117lemul2ad 11166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
11991, 71, 96, 118fsumle 14738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
12073, 104, 97, 110, 119letrd 10396 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
12155, 73, 90, 97, 103, 120le2addd 10848 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
12298, 88rerpdivcld 12106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ∈ ℝ)
123 remulcl 10223 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
12429, 89, 123sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
12535, 124readdcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
126122, 124resubcld 10660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℝ)
127126recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ∈ ℂ)
128127abscld 14383 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ∈ ℝ)
129126leabsd 14361 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
130 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑌 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑌))
131 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑌 → (log‘𝑧) = (log‘𝑌))
132130, 131oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑌 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)))
133 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (Λ‘𝑚) = (Λ‘𝑛))
134 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
135134fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (ψ‘(𝑧 / 𝑚)) = (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
136133, 135oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))))
137136cbvsumv 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛)))
138 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑌 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑌))
139138oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑌 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑌)))
140 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑌𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → 𝑧 = 𝑌)
141140fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑌𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))
142141oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑌𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
143139, 142sumeq12rdv 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
144137, 143syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑌 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛))))
145132, 144oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑌 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))))
146 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑌𝑧 = 𝑌)
147145, 146oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑌 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌))
148131oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑌 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑌)))
149147, 148oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑌 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))))
150149fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑌 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))))
151150breq1d 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵))
152 chpdifbnd.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
15319, 4, 24ltled 10387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
15419, 4, 11, 153, 57letrd 10396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
155 elicopnf 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ → (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌)))
15618, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑌))
15711, 154, 156sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (1[,)+∞))
158151, 152, 157rspcdva 3466 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌)))) ≤ 𝐵)
159126, 128, 35, 129, 158letrd 10396 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵)
160122, 124, 35lesubaddd 10826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) − (2 · (log‘𝑌))) ≤ 𝐵 ↔ ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌)))))
161159, 160mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))))
16210simp3d 1138 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋))
16388, 79logled 24594 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐴 · 𝑋) ↔ (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋))))
164162, 163mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)))
165 2pos 11314 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
16629, 165pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
168 lemul2 11078 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑌) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
16989, 80, 167, 168syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((log‘𝑌) ≤ (log‘(𝐴 · 𝑋)) ↔ (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
170164, 169mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (log‘𝑌)) ≤ (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))))
171124, 82, 35, 170leadd2dd 10844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝑌))) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
172122, 125, 83, 161, 171letrd 10396 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))))
17398, 83, 88ledivmul2d 12129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) / 𝑌) ≤ (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌)))
174172, 173mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑌))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑌 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
17574, 98, 84, 121, 174letrd 10396 . . . . . 6 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ≤ ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌))
176 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑋 → (ψ‘𝑧) = (ψ‘𝑋))
177 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑋 → (log‘𝑧) = (log‘𝑋))
178176, 177oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑋 → ((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) = ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)))
179 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑋 → (⌊‘𝑧) = (⌊‘𝑋))
180179oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑋 → (1...(⌊‘𝑧)) = (1...(⌊‘𝑋)))
181 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑋𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑧 = 𝑋)
182181fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑋𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (ψ‘(𝑧 / 𝑛)) = (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))
183182oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑋𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
184180, 183sumeq12rdv 14646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑧 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
185137, 184syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))
186178, 185oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑋 → (((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) = (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
187 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑋𝑧 = 𝑋)
188186, 187oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → ((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) = ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
189177oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (2 · (log‘𝑧)) = (2 · (log‘𝑋)))
190188, 189oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑋 → (((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧))) = (((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋))))
191190fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑋 → (abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) = (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))))
192191breq1d 4796 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → ((abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵 ↔ (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵))
193 elicopnf 12475 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋)))
19418, 193ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑋))
1954, 153, 194sylanbrc 572 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (1[,)+∞))
196192, 152, 195rspcdva 3466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵)
19786, 26rerpdivcld 12106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∈ ℝ)
198197, 76, 35absdifled 14381 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) − (2 · (log‘𝑋)))) ≤ 𝐵 ↔ (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵))))
199196, 198mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ∧ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋) ≤ ((2 · (log‘𝑋)) + 𝐵)))
200199simpld 482 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋))
20177, 86, 26lemuldivd 12124 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) ↔ ((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) ≤ ((((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) / 𝑋)))
202200, 201mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) ≤ (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))))
20374, 78, 84, 86, 175, 202le2subd 10849 . . . . 5 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) ≤ (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)))
20455recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
20585recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
20673recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))) ∈ ℂ)
207204, 205, 206pnpcan2d 10632 . . . . . 6 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
20813recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → (ψ‘𝑌) ∈ ℂ)
20915recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → (ψ‘𝑋) ∈ ℂ)
21027recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
211208, 209, 210subdird 10689 . . . . . 6 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) − ((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋))))
212207, 211eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝜑 → ((((ψ‘𝑌) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛)))) − (((ψ‘𝑋) · (log‘𝑋)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑋))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝑋 / 𝑛))))) = (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)))
21376, 11remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℝ)
214213recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) ∈ ℂ)
21535, 40readdcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
216215, 11remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℝ)
217216recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) ∈ ℂ)
21876, 4remulcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℝ)
219218recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) ∈ ℂ)
22035, 4remulcld 10272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
221220recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
222221negcld 10581 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
223214, 217, 219, 222addsub4d 10641 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
2245, 26relogmuld 24592 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝐴) + (log‘𝑋)))
22538recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
226225, 210addcomd 10440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘𝐴) + (log‘𝑋)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝐴)))
227224, 226eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝐴 · 𝑋)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝐴)))
228227oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))))
229 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
230229, 210, 225adddid 10266 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((log‘𝑋) + (log‘𝐴))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
231228, 230eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴))))
232231oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))))
23335recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
23476recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
23540recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
236233, 234, 235add12d 10464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + ((2 · (log‘𝑋)) + (2 · (log‘𝐴)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
237232, 236eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) = ((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))))
238237oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌))
239215recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24011recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
241234, 239, 240adddird 10267 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) + (𝐵 + (2 · (log‘𝐴)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
242238, 241eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)))
2434recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
244234, 233, 243subdird 10689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
245219, 221negsubd 10600 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
246244, 245eqtr4d 2808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋)))
247242, 246oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) + ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌)) − (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋) + -(𝐵 · 𝑋))))
24830recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
249229, 248, 210mul32d 10448 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) = ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌𝑋)))
250234, 240, 243subdid 10688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑋)) · (𝑌𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
251249, 250eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) = (((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)))
25235, 11remulcld 10272 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
253252recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
25441recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ∈ ℂ)
255253, 221, 254add32d 10465 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
256233, 240, 243adddid 10266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) = ((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
257256oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
258233, 235, 240adddird 10267 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)))
259258oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 · 𝑌) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑋)))
260255, 257, 2593eqtr4d 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
261217, 221subnegd 10601 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) + (𝐵 · 𝑋)))
262260, 261eqtr4d 2808 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) = (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋)))
263251, 262oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) = ((((2 · (log‘𝑋)) · 𝑌) − ((2 · (log‘𝑋)) · 𝑋)) + (((𝐵 + (2 · (log‘𝐴))) · 𝑌) − -(𝐵 · 𝑋))))
264223, 247, 2633eqtr4d 2815 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 + (2 · (log‘(𝐴 · 𝑋)))) · 𝑌) − (((2 · (log‘𝑋)) − 𝐵) · 𝑋)) = (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
265203, 212, 2643brtr3d 4817 . . . 4 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))))
26647, 4remulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) ∈ ℝ)
26750, 4remulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) ∈ ℝ)
26811, 7, 4, 162leadd1dd 10843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
2696recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
27019recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
271269, 270, 243adddird 10267 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
272243mulid2d 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
273272oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (1 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
274271, 273eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝑋))
275268, 274breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋))
27646, 4remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝑋) ∈ ℝ)
27736, 276, 34lemul2d 12119 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑋) ≤ ((𝐴 + 1) · 𝑋) ↔ (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋))))
278275, 277mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
27946recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
280233, 279, 243mulassd 10265 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) = (𝐵 · ((𝐴 + 1) · 𝑋)))
281278, 280breqtrrd 4814 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) ≤ ((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋))
28229a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
283 0le2 11313 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
284283a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 2)
285 log1 24553 . . . . . . . . . . 11 (log‘1) = 0
286 chpdifbnd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
287 1rp 12039 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
288 logleb 24570 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
289287, 5, 288sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
290286, 289mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
291285, 290syl5eqbrr 4822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
292282, 38, 284, 291mulge0d 10806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · (log‘𝐴)))
29311, 7, 40, 292, 162lemul2ad 11166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
29449recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
295294, 225, 243mulassd 10265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)))
296229, 269, 225, 243mul4d 10450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · ((log‘𝐴) · 𝑋)) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
297295, 296eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋) = ((2 · (log‘𝐴)) · (𝐴 · 𝑋)))
298293, 297breqtrrd 4814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌) ≤ (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋))
29937, 41, 266, 267, 281, 298le2addd 10848 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
30044oveq1i 6803 . . . . . . 7 (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋)
30147recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
30250recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
303301, 302, 243adddird 10267 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
304300, 303syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = (((𝐵 · (𝐴 + 1)) · 𝑋) + (((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) · 𝑋)))
305299, 304breqtrrd 4814 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌)) ≤ (𝐶 · 𝑋))
30642, 53, 33, 305leadd2dd 10844 . . . 4 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐵 · (𝑌 + 𝑋)) + ((2 · (log‘𝐴)) · 𝑌))) ≤ (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
30728, 43, 54, 265, 306letrd 10396 . . 3 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
30832recnd 10270 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
3094, 24rplogcld 24596 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ+)
3104, 309rerpdivcld 12106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℝ)
31152, 310remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℝ)
312311recnd 10270 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) ∈ ℂ)
313308, 312, 210adddird 10267 . . . 4 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))))
31452recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
315310recnd 10270 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 / (log‘𝑋)) ∈ ℂ)
316314, 315, 210mulassd 10265 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))))
317309rpne0d 12080 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑋) ≠ 0)
318243, 210, 317divcan1d 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋)) = 𝑋)
319318oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑋 / (log‘𝑋)) · (log‘𝑋))) = (𝐶 · 𝑋))
320316, 319eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋)) = (𝐶 · 𝑋))
321320oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + ((𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋))) · (log‘𝑋))) = (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
322313, 321eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)) = (((2 · (𝑌𝑋)) · (log‘𝑋)) + (𝐶 · 𝑋)))
323307, 322breqtrrd 4814 . 2 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋)))
32432, 311readdcld 10271 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ∈ ℝ)
32516, 324, 309lemul1d 12118 . 2 (𝜑 → (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) ↔ (((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) · (log‘𝑋)) ≤ (((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))) · (log‘𝑋))))
326323, 325mpbird 247 1 (𝜑 → ((ψ‘𝑌) − (ψ‘𝑋)) ≤ ((2 · (𝑌𝑋)) + (𝐶 · (𝑋 / (log‘𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  cuz 11888  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  cfl 12799  abscabs 14182  Σcsu 14624  logclog 24522  Λcvma 25039  ψcchp 25040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-vma 25045  df-chp 25046
This theorem is referenced by:  chpdifbndlem2  25464
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