MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpchtlim 25288
Description: The ψ and θ functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either θ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 or ψ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 10168 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 1red 10168 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
3 2re 11203 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
4 elicopnf 12383 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
65simplbi 478 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 10154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 11225 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
125simprbi 483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 10310 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
146, 13elrpd 11983 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1514adantl 473 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1615rpge0d 11990 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
177, 16resqrtcld 14276 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
1815relogcld 24489 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
1917, 18remulcld 10183 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2012adantl 473 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21 chtrpcl 25021 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
227, 20, 21syl2anc 696 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2319, 22rerpdivcld 12017 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
246ssriv 3713 . . . . . 6 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
251recnd 10181 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
26 rlimconst 14395 . . . . . 6 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
2724, 25, 26sylancr 698 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
28 ovexd 6795 . . . . . . . 8 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
297, 22rerpdivcld 12017 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
30 ovexd 6795 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥) ∈ V)
31 eqidd 2725 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))))
327recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 cxpsqrt 24569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3534oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
3618recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3715rpsqrtcld 14270 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
3837rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
39 divcan5 10840 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
4036, 38, 38, 39syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))
41 remsqsqrt 14117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
427, 16, 41syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (√‘𝑥)) = 𝑥)
4342oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / ((√‘𝑥) · (√‘𝑥))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4435, 40, 433eqtr2d 2764 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4544mpteq2dva 4852 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)))
4628, 29, 30, 31, 45offval2 7031 . . . . . . 7 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))))
4715rpne0d 11991 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
4822rpcnne0d 11995 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
4919recnd 10181 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
50 dmdcan 10848 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
5132, 47, 48, 49, 50syl211anc 1445 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥)) = (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
5251mpteq2dva 4852 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((𝑥 / (θ‘𝑥)) · (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
5346, 52eqtrd 2758 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
54 chto1lb 25287 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
5514ssriv 3713 . . . . . . . . 9 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
57 1rp 11950 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
58 rphalfcl 11972 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
60 cxploglim 24824 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
6356, 62rlimres2 14412 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0)
64 o1rlimmul 14469 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2)))) ⇝𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
6554, 63, 64sylancr 698 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (𝑥 / (θ‘𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥𝑐(1 / 2))))) ⇝𝑟 0)
6653, 65eqbrtrrd 4784 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
672, 23, 27, 66rlimadd 14493 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 (1 + 0))
68 1p0e1 11246 . . . 4 (1 + 0) = 1
6967, 68syl6breq 4801 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
70 1re 10152 . . . 4 1 ∈ ℝ
71 readdcl 10132 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
7270, 23, 71sylancr 698 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) ∈ ℝ)
73 chpcl 24970 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
747, 73syl 17 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
7574, 22rerpdivcld 12017 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ ℝ)
76 chtcl 24955 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
777, 76syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
7877, 19readdcld 10182 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
793a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
80 1le2 11354 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 2)
822, 79, 7, 81, 20letrd 10307 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
83 chpub 25065 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
847, 82, 83syl2anc 696 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ≤ ((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))))
8574, 78, 22, 84lediv1dd 12044 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)))
8622rpcnd 11988 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
87 divdir 10823 . . . . . . 7 (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
8886, 49, 48, 87syl3anc 1439 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
89 divid 10827 . . . . . . . 8 (((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
9048, 89syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) = 1)
9190oveq1d 6780 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9288, 91eqtrd 2758 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) + ((√‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (θ‘𝑥)) = (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9385, 92breqtrd 4786 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9493adantrr 755 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ≤ (1 + (((√‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
9586mulid2d 10171 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) = (θ‘𝑥))
96 chtlepsi 25051 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
977, 96syl 17 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
9895, 97eqbrtrd 4782 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥))
992, 74, 22lemuldivd 12035 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 · (θ‘𝑥)) ≤ (ψ‘𝑥) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
10098, 99mpbid 222 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
101100adantrr 755 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))
1021, 1, 69, 72, 75, 94, 101rlimsqz2 14501 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1)
103102trud 1606 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wtru 1597  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  wss 3680   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184   < clt 10187  cle 10188   / cdiv 10797  2c2 11183  +crp 11946  [,)cico 12291  csqrt 14093  𝑟 crli 14336  𝑂(1)co1 14337  logclog 24421  𝑐ccxp 24422  θccht 24937  ψcchp 24939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-o1 14341  df-lo1 14342  df-sum 14537  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509  df-pc 15665  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424  df-cht 24943  df-vma 24944  df-chp 24945  df-ppi 24946
This theorem is referenced by:  chpo1ub  25289  pnt2  25422
  Copyright terms: Public domain W3C validator