MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem5 24784
Description: If P is on the segment AB and AQ = BQ, then PA · PB = BQ 2 PQ 2 . This follows from two uses of chordthmlem3 24782 to show that PQ 2 = QM 2 + PM 2 and BQ 2 = QM 2 + BM 2 , so BQ 2 PQ 2 = (QM 2 + BM 2 ) (QM 2 + PM 2 ) = BM 2 PM 2 , which equals PA · PB by chordthmlem4 24783. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem5.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem5.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem5.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem5.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem5.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem5.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem5
StepHypRef Expression
1 chordthmlem5.Q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2 chordthmlem5.A . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 chordthmlem5.B . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3addcld 10265 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
54halfcld 11484 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
61, 5subcld 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
76abscld 14383 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
87recnd 10274 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
98sqcld 13213 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
103, 5subcld 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
1110abscld 14383 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
1211recnd 10274 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1312sqcld 13213 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
14 chordthmlem5.P . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15 unitssre 12526 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
16 chordthmlem5.X . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
1715, 16sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1817recnd 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1918, 2mulcld 10266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
20 1cnd 10262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2120, 18subcld 10598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
2221, 3mulcld 10266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2319, 22addcld 10265 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2414, 23eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2524, 5subcld 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2625abscld 14383 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 10274 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
2827sqcld 13213 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
299, 13, 28pnpcand 10635 . 2 (𝜑 → ((((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)) − (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2))) = (((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) − ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
30 0red 10247 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31 eqidd 2772 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
322mul02d 10440 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
3320subid1d 10587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 0) = 1)
3433oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
353mulid2d 10264 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3634, 35eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 0) · 𝐵) = 𝐵)
3732, 36oveq12d 6814 . . . . 5 (𝜑 → ((0 · 𝐴) + ((1 − 0) · 𝐵)) = (0 + 𝐵))
383addid2d 10443 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3937, 38eqtr2d 2806 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((0 · 𝐴) + ((1 − 0) · 𝐵)))
40 chordthmlem5.ABequidistQ . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
412, 3, 1, 30, 31, 39, 40chordthmlem3 24782 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
422, 3, 1, 17, 31, 14, 40chordthmlem3 24782 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
4341, 42oveq12d 6814 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)) = ((((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)) − (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2))))
442, 3, 16, 31, 14chordthmlem4 24783 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) − ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
4529, 43, 443eqtr4rd 2816 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  [,]cicc 12383  cexp 13067  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524
This theorem is referenced by:  chordthm  24785  chordthmALT  39691
  Copyright terms: Public domain W3C validator