MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 24761
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) 2 − ((1 / 2) − 𝑋) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 unitssre 12512 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
53, 4sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
62, 5resubcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
76recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
87abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
98recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 10584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1312abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
1413recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
155recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1615abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1716recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
189, 14, 17, 14mul4d 10440 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
2015, 11mulcld 10252 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
217, 10mulcld 10252 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2220, 21addcld 10251 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2319, 22eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2411, 23, 10, 15affineequiv2 24753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
2519, 24mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
2625fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
277, 12absmuld 14392 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2826, 27eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2923, 10abssubd 14391 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑃)))
3011, 23, 10, 15affineequiv 24752 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
3119, 30mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
3231fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))))
3315, 12absmuld 14392 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3429, 32, 333eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3528, 34oveq12d 6831 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3614sqvald 13199 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3736oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3818, 35, 373eqtr4d 2804 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
392recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4039halfcld 11469 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4140sqcld 13200 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
422rehalfcld 11471 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4342, 5resubcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
4443recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
4544abscld 14374 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
4645recnd 10260 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
4746sqcld 13200 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
4814sqcld 13200 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) ∈ ℂ)
4941, 47, 48subdird 10679 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
50 subsq 13166 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5140, 44, 50syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5240, 40, 15addsubassd 10604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
53392halvesd 11470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5453oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
5552, 54eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
5640, 15nncand 10589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
5755, 56oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
5851, 57eqtr2d 2795 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
59 0re 10232 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6059, 1elicc2i 12432 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
614, 60sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
6261simp3d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ 1)
635, 2, 62abssubge0d 14369 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
6461simp2d 1138 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
655, 64absidd 14360 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
6663, 65oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
67 absresq 14241 . . . . . . 7 (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6843, 67syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6968oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
7058, 66, 693eqtr4d 2804 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
7170oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
72 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
73 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7510, 72, 74divcan4d 10999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
7610times2d 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
7776oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
7875, 77eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
79 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
8078, 79oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
8110, 10addcld 10251 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
8211, 10addcld 10251 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8381, 82, 72, 74divsubdird 11032 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
8410, 11, 10pnpcan2d 10622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
8584oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
8680, 83, 853eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
8712, 72, 74divrec2d 10997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8886, 87eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8988fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))))
9040, 12absmuld 14392 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9159a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
92 halfgt0 11440 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9491, 42, 93ltled 10377 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
9542, 94absidd 14360 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
9695oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9789, 90, 963eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9897oveq1d 6828 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
9940, 14sqmuld 13214 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
10098, 99eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
10140, 15, 12subdird 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10288, 31oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10382halfcld 11469 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
10479, 103eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10510, 104, 23nnncan1d 10618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
106101, 102, 1053eqtr2rd 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
107106fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
10844, 12absmuld 14392 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
109107, 108eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
110109oveq1d 6828 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
11146, 14sqmuld 13214 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
112110, 111eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
113100, 112oveq12d 6831 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
11449, 71, 1133eqtr4rd 2805 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11538, 114eqtr4d 2797 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  [,]cicc 12371  cexp 13054  abscabs 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-icc 12375  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  24762
  Copyright terms: Public domain W3C validator