Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirredi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirredi 29381
 Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chirred.1 𝐴C
chirred.2 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
Assertion
Ref Expression
chirredi (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 0 = 0
2 ioran 510 . . . . 5 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
3 df-ne 2824 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
4 df-ne 2824 . . . . . 6 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0)
53, 4anbi12i 733 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
62, 5bitr4i 267 . . . 4 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0))
7 chirred.1 . . . . . . . 8 𝐴C
87hatomici 29346 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴)
97choccli 28294 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
109hatomici 29346 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
118, 10anim12i 589 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12 reeanv 3136 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
1311, 12sylibr 224 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16 atelch 29331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
17 chsscon3 28487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝C𝐴C ) → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1816, 7, 17sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1918biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2119, 20sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2221ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23 atne0 29332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0)
25 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
2625bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27 chssoc 28483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝C → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2926, 28sylan9bbr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
3029biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0)
3130an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0)
3231ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞𝑝 = 0))
3332necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0𝑝𝑞))
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3534adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3622, 35syldan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝𝑞)
3736adantrl 752 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝𝑞)
38 superpos 29341 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
3914, 15, 37, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
40 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
41 neanior 2915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4241anbi1i 731 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
4340, 42bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
44 chirred.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
457, 44chirredlem4 29380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4645anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4746pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0))
4847ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
5049impd 446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5143, 50syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5251rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5453an4s 886 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5554ex 449 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0))
5655rexlimivv 3065 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0)
5713, 56syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 0 = 0)
586, 57sylbi 207 . . 3 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → ¬ 0 = 0)
591, 58mt4 115 . 2 (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0)
60 fveq2 6229 . . . 4 ((⊥‘𝐴) = 0 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0))
617ococi 28392 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62 choc0 28313 . . . 4 (⊥‘0) = ℋ
6360, 61, 623eqtr3g 2708 . . 3 ((⊥‘𝐴) = 0𝐴 = ℋ)
6463orim2i 539 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
6559, 64ax-mp 5 1 (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   Cℋ cch 27914  ⊥cort 27915   ∨ℋ chj 27918  0ℋc0h 27920   𝐶ℋ ccm 27921  HAtomscat 27950 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-span 28296  df-chj 28297  df-chsup 28298  df-pjh 28382  df-cm 28570  df-cv 29266  df-at 29325 This theorem is referenced by:  chirred  29382
 Copyright terms: Public domain W3C validator