MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmulfsupp 20884
Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chfacfisf.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r × = (.r𝑌)
chfacfisf.s = (-g𝑌)
chfacfisf.0 0 = (0g𝑌)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chfacfscmulcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chfacfscmulcl.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐵   0 ,𝑛   𝐵,𝑖,𝑠   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   ,𝑖   · ,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠)   × (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.0 . . . 4 0 = (0g𝑌)
21fvexi 6345 . . 3 0 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4 ovexd 6829 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) ∈ V)
5 nnnn0 11506 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6 peano2nn0 11540 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
87ad2antrl 707 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
9 vex 3354 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
10 csbov12g 6838 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)))
11 csbov1g 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋))
12 csbvarg 4148 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖𝑖 = 𝑘)
1312oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
1411, 13eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
15 csbfv 6376 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
1714, 16oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
1810, 17eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
199, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
20 simplll 758 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
21 simpllr 760 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))))
225adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322ad2antlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2423nn0zd 11687 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
2524adantr 466 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26 2z 11616 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
2825, 27zaddcld 11693 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3029nn0zd 11687 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
318nn0zd 11687 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
32 nn0z 11607 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
33 zltp1le 11634 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3431, 32, 33syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3534biimpa 462 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
36 nncn 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
37 add1p1 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3938breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4039bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4140adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4241ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4342adantr 466 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4435, 43mpbird 247 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
45 eluz2 11899 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4628, 30, 44, 45syl3anbrc 1428 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)))
47 chfacfisf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
48 chfacfisf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
49 chfacfisf.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
50 chfacfisf.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
51 chfacfisf.r . . . . . . . 8 × = (.r𝑌)
52 chfacfisf.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
53 chfacfisf.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
54 chfacfisf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
55 chfacfscmulcl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
56 chfacfscmulcl.m . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑌)
57 chfacfscmulcl.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5847, 48, 49, 50, 51, 52, 1, 53, 54, 55, 56, 57chfacfscmul0 20883 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
5920, 21, 46, 58syl3anc 1476 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
6019, 59eqtrd 2805 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )
6160ex 397 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
6261ralrimiva 3115 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
63 breq1 4790 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑠 + 1) → (𝑧 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
6463imbi1d 330 . . . . 5 (𝑧 = (𝑠 + 1) → ((𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )))
6564ralbidv 3135 . . . 4 (𝑧 = (𝑠 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )))
6665rspcev 3460 . . 3 (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
678, 62, 66syl2anc 573 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
683, 4, 67mptnn0fsupp 13004 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  csb 3682  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8435  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cn 11226  2c2 11276  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  ...cfz 12533  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  -gcsg 17632  .gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  CRingccrg 18756  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762   Mat cmat 20430   matToPolyMat cmat2pmat 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  20885
  Copyright terms: Public domain W3C validator