MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem2 25379
Description: Lemma for chebbnd1 25381: Show that log(𝑁) / 𝑁 does not change too much between 𝑁 and 𝑀 = ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 12039 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2 4nn 11388 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
3 4z 11612 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
6 rehalfcl 11459 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
76adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
87flcld 12806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
95, 8syl5eqel 2853 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 4t2e8 11382 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
11 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
1210, 11syl5eqbr 4819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
13 4re 11298 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
15 simpl 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 2re 11291 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 11313 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
20 lemuldiv 11104 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2212, 21mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
23 flge 12813 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
247, 3, 23sylancl 566 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
2522, 24mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
2625, 5syl6breqr 4826 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
27 eluz2 11893 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1427 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
29 eluznn 11960 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
302, 28, 29sylancr 567 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3130nnrpd 12072 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
32 rpmulcl 12057 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
331, 31, 32sylancr 567 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
3433relogcld 24589 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
3534, 33rerpdivcld 12105 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
36 0red 10242 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
37 8re 11306 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
39 8pos 11322 . . . . . . . 8 0 < 8
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 10398 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4215, 41elrpd 12071 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 12086 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
4443relogcld 24589 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4544, 43rerpdivcld 12105 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4642relogcld 24589 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4746, 42rerpdivcld 12105 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
48 remulcl 10222 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
4916, 47, 48sylancr 567 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
509zred 11683 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
51 peano2re 10410 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
53 remulcl 10222 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
5416, 50, 53sylancr 567 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
55 flltp1 12808 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
567, 55syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
575oveq1i 6802 . . . . 5 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1)
5856, 57syl6breqr 4826 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (𝑀 + 1))
59 1red 10256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
6030nnge1d 11264 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
6159, 50, 50, 60leadd2dd 10843 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑀 + 𝑀))
6250recnd 10269 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
63622timesd 11476 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
6461, 63breqtrrd 4812 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (2 · 𝑀))
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 10398 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (2 · 𝑀))
66 ere 15024 . . . . . 6 e ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
68 egt2lt3 15139 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
6968simpri 473 . . . . . . . 8 e < 3
70 3lt4 11398 . . . . . . . 8 3 < 4
71 3re 11295 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
7266, 71, 13lttri 10364 . . . . . . . 8 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
7369, 70, 72mp2an 664 . . . . . . 7 e < 4
7473a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 10398 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (𝑁 / 2))
7667, 7, 75ltled 10386 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (𝑁 / 2))
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 10399 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (2 · 𝑀))
7867, 54, 77ltled 10386 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (2 · 𝑀))
79 logdivlt 24587 . . . 4 ((((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑁 / 2)) ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ e ≤ (2 · 𝑀))) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 1476 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
8165, 80mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82 rphalflt 12062 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 2) < 𝑁)
8342, 82syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < 𝑁)
84 logltb 24566 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8543, 42, 84syl2anc 565 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8683, 85mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁))
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 12131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)))
8846recnd 10269 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8915recnd 10269 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
9017recnd 10269 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
9142rpne0d 12079 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
92 2ne0 11314 . . . . . 6 2 ≠ 0
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 11034 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁))
9588, 90mulcomd 10262 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) · 2) = (2 · (log‘𝑁)))
9695oveq1d 6807 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁) = ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁))
9790, 88, 89, 91divassd 11037 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9894, 96, 973eqtrd 2808 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9987, 98breqtrd 4810 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 10399 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  8c8 11277  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  cfl 12798  eceu 14998  logclog 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-e 15004  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  25380
  Copyright terms: Public domain W3C validator