MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem1 25203
Description: Lemma for chebbnd1 25206: show a lower bound on π(𝑥) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 25063. (Note that the expression 𝐾 is actually equal to 2 · 𝑁, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 25054, which shows that each term in the expansion ((2 · 𝑁)C𝑁) = ∏𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑(𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) is at most 2 · 𝑁, so that the sum really only has nonzero elements up to 2 · 𝑁, and since each term is at most 2 · 𝑁, after taking logs we get the inequality π(2 · 𝑁) · log(2 · 𝑁) ≤ log((2 · 𝑁)C𝑁), and bclbnd 25050 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 11225 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
2 eluznn 11796 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2mpan 706 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11389 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 nnexpcl 12913 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
61, 4, 5sylancr 696 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℕ)
76nnrpd 11908 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (4↑𝑁) ∈ ℝ+)
83nnrpd 11908 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ+)
97, 8rpdivcld 11927 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+)
109relogcld 24414 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
11 fzctr 12490 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
124, 11syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
13 bccl2 13150 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11908 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+)
1615relogcld 24414 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℝ)
17 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
18 eluzelz 11735 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 zmulcl 11464 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 696 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2120zred 11520 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 ppicl 24902 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
2423nn0red 11390 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
25 2nn 11223 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
26 nnmulcl 11081 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2725, 3, 26sylancr 696 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2827nnrpd 11908 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2928relogcld 24414 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
3024, 29remulcld 10108 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
31 bclbnd 25050 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
32 logltb 24391 . . . 4 ((((4↑𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ+) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
339, 15, 32syl2anc 694 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁))))
3431, 33mpbid 222 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8 𝐾 = if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁))
3627, 14ifcld 4164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
3735, 36syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℕ)
3837nnred 11073 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℝ)
39 ppicl 24902 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℕ0)
4140nn0red 11390 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ∈ ℝ)
4241, 29remulcld 10108 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
43 fzfid 12812 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ∈ Fin)
44 inss1 3866 . . . . . 6 ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)
45 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐾)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 695 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4737nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ∈ ℤ)
4814nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
4914nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
50 min2 12059 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5121, 49, 50syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
5235, 51syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
53 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
5447, 48, 52, 53syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾))
55 fzss2 12419 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ (ℤ𝐾) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
57 ssrin 3871 . . . . . . . 8 ((1...𝐾) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...𝐾) ∩ ℙ) ⊆ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
5958sselda 3636 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
60 inss1 3866 . . . . . . . . . . 11 ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))
61 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
6260, 61sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
63 elfznn 12408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
65 inss2 3867 . . . . . . . . . . 11 ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
6665, 61sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
6714adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
6866, 67pccld 15602 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
6964, 68nnexpcld 13070 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
7069nnrpd 11908 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
7170relogcld 24414 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
7259, 71syldan 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ)
7329adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
74 elin 3829 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7574simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
76 bposlem1 25054 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
773, 75, 76syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
7859, 70syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ+)
7978reeflogd 24415 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) = (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
8028adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
8180reeflogd 24415 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
8277, 79, 813brtr4d 4717 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))))
83 efle 14892 . . . . . . 7 (((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8472, 73, 83syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ((log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)) ↔ (exp‘(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))) ≤ (exp‘(log‘(2 · 𝑁)))))
8582, 84mpbird 247 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ (log‘(2 · 𝑁)))
8646, 72, 73, 85fsumle 14575 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)))
8771recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
8859, 87syldan 486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) ∈ ℂ)
89 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
91 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
9291eldifad 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ))
9360, 92sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)))
9493, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9594adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9695nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
9792, 69syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℕ)
9897nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
9998adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ ℝ)
10021adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10195nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
102101exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) = 𝑘)
10395nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑘)
104 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
105 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
106104, 105syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ (ℤ‘1))
10796, 103, 106leexp2ad 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑1) ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
108102, 107eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
1093adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11065, 92sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℙ)
111110adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
112109, 111, 76syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
11396, 99, 100, 108, 112letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑁))
114 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11593, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
116115adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
11749adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ)
118 lemin 12061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
11996, 100, 117, 118syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ↔ (𝑘 ≤ (2 · 𝑁) ∧ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))))
120113, 116, 119mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ≤ if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)))
121120, 35syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘𝐾)
12237adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
123122nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
124 fznn 12446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝐾)))
12695, 121, 125mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
127126, 111elind 3831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ (𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ)) ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ))
128127expr 642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)))
12990, 128mtod 189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ)
13092, 68syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
131 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132130, 131sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ ∨ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133132ord 391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (¬ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
134129, 133mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
135134oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = (𝑘↑0))
13694nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
137136exp0d 13042 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑0) = 1)
138135, 137eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = 1)
139138fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘1))
140 log1 24377 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
141139, 140syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∖ ((1...𝐾) ∩ ℙ))) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = 0)
142 fzfid 12812 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin)
143 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ Fin ∧ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (1...((2 · 𝑁)C𝑁))) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
144142, 60, 143sylancl 695 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14558, 88, 141, 144fsumss 14500 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))))
14664nnrpd 11908 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
14768nn0zd 11518 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
148 relogexp 24387 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
149146, 147, 148syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = ((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
150149sumeq2dv 14477 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)))
151 pclogsum 24985 . . . . . 6 (((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
15214, 151syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...((2 · 𝑁)C𝑁)) ∩ ℙ)((𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) · (log‘𝑘)) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
153145, 150, 1523eqtrd 2689 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(𝑘↑(𝑘 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) = (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)))
15429recnd 10106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
155 fsumconst 14566 . . . . . 6 ((((1...𝐾) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((#‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
15646, 154, 155syl2anc 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((#‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
157 2eluzge1 11772 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
158 ppival2g 24900 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → (π𝐾) = (#‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
15947, 157, 158sylancl 695 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) = (#‘((1...𝐾) ∩ ℙ)))
160159oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((#‘((1...𝐾) ∩ ℙ)) · (log‘(2 · 𝑁))))
161156, 160eqtr4d 2688 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ℙ)(log‘(2 · 𝑁)) = ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
16286, 153, 1613brtr3d 4716 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))))
163 min1 12058 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℝ) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16421, 49, 163syl2anc 694 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → if((2 · 𝑁) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁), (2 · 𝑁), ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (2 · 𝑁))
16535, 164syl5eqbr 4720 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝐾 ≤ (2 · 𝑁))
166 ppiwordi 24933 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (2 · 𝑁)) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
16738, 21, 165, 166syl3anc 1366 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)))
168 1red 10093 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ∈ ℝ)
169 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
170169a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ∈ ℝ)
171 1lt2 11232 . . . . . . . 8 1 < 2
172171a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < 2)
173 2t1e2 11214 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
1743nnge1d 11101 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 ≤ 𝑁)
175 eluzelre 11736 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 𝑁 ∈ ℝ)
176 2pos 11150 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
177169, 176pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
179 lemul2 10914 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
180168, 175, 178, 179syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
181174, 180mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
182173, 181syl5eqbrr 4721 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
183168, 170, 21, 172, 182ltletrd 10235 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → 1 < (2 · 𝑁))
18421, 183rplogcld 24420 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
18541, 24, 184lemul1d 11953 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) ≤ (π‘(2 · 𝑁)) ↔ ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁)))))
186167, 185mpbid 222 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((π𝐾) · (log‘(2 · 𝑁))) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18716, 42, 30, 162, 186letrd 10232 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
18810, 16, 30, 34, 187ltletrd 10235 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑁) / 𝑁)) < ((π‘(2 · 𝑁)) · (log‘(2 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  4c4 11110  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  Ccbc 13129  #chash 13157  Σcsu 14460  expce 14836  cprime 15432   pCnt cpc 15588  logclog 24346  πcppi 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-ppi 24871
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  25205
  Copyright terms: Public domain W3C validator