HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ch0pss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ch0pss 28584
Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ch0pss (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem ch0pss
StepHypRef Expression
1 necom 2973 . . 3 (0𝐴𝐴 ≠ 0)
2 ch0le 28580 . . . 4 (𝐴C → 0𝐴)
32biantrurd 530 . . 3 (𝐴C → (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
41, 3syl5bbr 274 . 2 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
5 df-pss 3719 . 2 (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴))
64, 5syl6rbbr 279 1 (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2127  wne 2920  wss 3703  wpss 3704   C cch 28066  0c0h 28072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-hilex 28136
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-xp 5260  df-cnv 5262  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fv 6045  df-ov 6804  df-sh 28344  df-ch 28358  df-ch0 28390
This theorem is referenced by:  elat2  29479
  Copyright terms: Public domain W3C validator