Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgr3swap23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgr3swap23 25639
 Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnxfr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgbtwnxfr.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Assertion
Ref Expression
cgr3swap23 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap23
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgcgrxfr.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tgcgrxfr.r . 2 = (cgrG‘𝐺)
4 tgcgrxfr.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgbtwnxfr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tgbtwnxfr.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
7 tgbtwnxfr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
8 tgbtwnxfr.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
9 tgbtwnxfr.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
10 tgbtwnxfr.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
11 tgcgrxfr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12 tgbtwnxfr.2 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
131, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp3 25637 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
141, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13tgcgrcomlr 25595 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
151, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp2 25636 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
161, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15tgcgrcomlr 25595 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐵) = (𝐹 𝐸))
171, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp1 25635 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
181, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17tgcgrcomlr 25595 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18trgcgr 25631 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  ⟨“cs3 13795  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  cgrGccgrg 25625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626 This theorem is referenced by:  cgr3swap13  25640  cgr3rotr  25641  cgr3rotl  25642  lnxfr  25681  lnext  25682  tgfscgr  25683  legov  25700  legov2  25701  legtrd  25704  symquadlem  25804  cgrahl  25938
 Copyright terms: Public domain W3C validator