Theorem cfilucfil2 22567

Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 23263. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cfilucfil2	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil2

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metuval 22555	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
2	1	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
3	2	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))))
4	3	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))))
5		oveq2 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑏))
6	5	imaeq2d 5624	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
7	6	cbvmptv 4902	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
8	7	rneqi 5507	. . 3 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
9	8	cfilucfil 22565	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
10	4, 9	bitrd 268	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ^◡ccnv 5265  ran crn 5267   “ cima 5269  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ℝ⁺crp 12025  [,)cico 12370  PsMetcpsmet 19932  fBascfbas 19936  filGencfg 19937  metUnifcmetu 19939  CauFil_uccfilu 22291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-psmet 19940  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-metu 19947  df-fil 21851  df-ust 22205  df-cfilu 22292

This theorem is referenced by:  cfilucfil3  23317  cmetcusp  23350