Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfil3i 23113
 Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥,𝐷

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 23112 . . 3 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
213adant1 1099 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
3 cfilfil 23111 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
433adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fileln0 21701 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
64, 5sylan 487 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠 ≠ ∅)
7 r19.2z 4093 . . . . . 6 ((𝑠 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅) → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅)
87ex 449 . . . . 5 (𝑠 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
96, 8syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
10 filelss 21703 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
114, 10sylan 487 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝑠𝑋)
12 ssrexv 3700 . . . . 5 (𝑠𝑋 → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
14 dfss3 3625 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))
15 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 simpll3 1122 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1817rpxrd 11911 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑥𝑋)
2111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝑋)
2221sselda 3636 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦𝑋)
23 elbl2 22242 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2524ralbidva 3014 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
2614, 25syl5bb 272 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅))
274ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
28 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑠𝐹)
2915adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
30 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
31 blssm 22270 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
3229, 30, 18, 31syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
33 filss 21704 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑠𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
34333exp2 1307 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑠𝐹 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋 → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))))
3527, 28, 32, 34syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑠 ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3626, 35sylbird 250 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3736reximdva 3046 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
389, 13, 373syld 60 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
3938rexlimdva 3060 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥𝐷𝑦) < 𝑅 → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹))
402, 39mpd 15 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  ℝ+crp 11870  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  Filcfil 21696  CauFilccfil 23096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789  df-fbas 19791  df-fil 21697  df-cfil 23099 This theorem is referenced by:  iscfil3  23117  cfilfcls  23118  relcmpcmet  23161
 Copyright terms: Public domain W3C validator