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Theorem cfcoflem 9132
Description: Lemma for cfcof 9134, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cfcoflem ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cfcoflem
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 9118 . . 3 (𝐵 ∈ On → ∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)))
2 f1f 6139 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵)
3 fco 6096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵𝐴𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
43adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴)
6 r19.29 3101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)))
7 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)
8 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓:𝐵𝐴𝑓 Fn 𝐵)
9 smoword 7508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ↔ (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
109biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑔𝑧) ∈ 𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
1110exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓 Fn 𝐵 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
128, 11sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔𝑧) ∈ 𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
137, 12syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑦𝐵 → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1413com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
1514expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))))
16153imp2 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)))
17 sstr2 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑓𝑦) ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧)) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
1816, 17syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
19 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → ((𝑓𝑔)‘𝑧) = (𝑓‘(𝑔𝑧)))
2019sseq2d 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2120adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
22213ad2antr1 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ (𝑓‘(𝑔𝑧))))
2318, 22sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧))) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
2423expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
25243expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2625com4t 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ((𝑧 ∈ (cf‘𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
2827expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → (𝑧 ∈ (cf‘𝐵) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
2928imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (cf‘𝐵)) → (𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3029reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3130exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (𝑦𝐵 → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3231com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))))
3433impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (𝑦𝐵 → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3534com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (𝑦𝐵 → ((∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
3635rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → (∃𝑦𝐵 (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
376, 36syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) → ((∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3837expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
3938ralimdv 2992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4039impr 648 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))
41 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
42 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔 ∈ V
4341, 42coex 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓𝑔) ∈ V
44 feq1 6064 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴))
45 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = (𝑓𝑔) → (𝑧) = ((𝑓𝑔)‘𝑧))
4645sseq2d 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝑓𝑔) → (𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4746rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝑓𝑔) → (∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4847ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝑓𝑔) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)))
4944, 48anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝑓𝑔) → ((:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) ↔ ((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧))))
5043, 49spcev 3331 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑔):(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ ((𝑓𝑔)‘𝑧)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
515, 40, 50syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) ∧ 𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵) ∧ (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦))) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))
5251exp43 639 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
5352com24 95 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))))
54533impia 1280 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5554exlimiv 1898 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5655com13 88 . . . . . 6 (𝑔:(cf‘𝐵)⟶𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
572, 56syl 17 . . . . 5 (𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)))))
5857imp 444 . . . 4 ((𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
5958exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑔(𝑔:(cf‘𝐵)–1-1𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑦 ⊆ (𝑔𝑧)) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
601, 59syl 17 . 2 (𝐵 ∈ On → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → ∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧))))
61 cfon 9115 . . 3 (cf‘𝐵) ∈ On
62 cfflb 9119 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (cf‘𝐵) ∈ On) → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6361, 62mpan2 707 . 2 (𝐴 ∈ On → (∃(:(cf‘𝐵)⟶𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ (cf‘𝐵)𝑥 ⊆ (𝑧)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
6460, 63sylan9r 691 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 ⊆ (𝑓𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ (cf‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ccom 5147  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  Smo wsmo 7487  cfccf 8801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-smo 7488  df-recs 7513  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-card 8803  df-cf 8805  df-acn 8806
This theorem is referenced by:  cfcof  9134  cfidm  9135
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