Theorem ceim1l 12854

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ceim1l	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceim1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10546	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		reflcl 12805	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		negdi 10540	. . . 4 ⊢ (((⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
7	4, 5, 6	sylancl 574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
8	4	negcld 10581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
9		negsub 10531	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
10	8, 5, 9	sylancl 574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
11	7, 10	eqtr2d 2806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
12		peano2re 10411	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14		flltp1 12809	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
16	15	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
17		ltnegcon1 10731	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (-𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴))
18	16, 17	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ) → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
19	13, 18	mpdan 667	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
20	11, 19	eqbrtrd 4808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276   − cmin 10468  -cneg 10469  ⌊cfl 12799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fl 12801

This theorem is referenced by:  ceilm1lt  12855  ceile  12856  ltflcei  33730