Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn6 37012
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
cdlemn6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn6
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑠𝐸)
3 cdlemn8.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemn8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn8.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 35827 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
81, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 simp2l 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10 cdlemn8.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn8.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 36388 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 8, 9, 12syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝐹𝑇)
14 cdlemn8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
155, 10, 14tendocl 36576 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
161, 2, 13, 15syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
17 simp3r 1244 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑔𝑇)
18 cdlemn8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
19 cdlemn8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2018, 5, 10, 14, 19tendo0cl 36599 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑂𝐸)
22 cdlemn8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2771 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24 cdlemn8.s . . . 4 + = (+g𝑈)
25 eqid 2771 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
265, 10, 14, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 36903 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑂𝐸)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
271, 16, 2, 17, 21, 26syl122anc 1485 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))
295, 10, 14, 22, 23, 28, 25dvhfplusr 36894 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
301, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
3130oveqd 6810 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂))
3218, 5, 10, 14, 19, 28tendo0plr 36601 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
331, 2, 32syl2anc 573 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
3431, 33eqtrd 2805 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑠)
3534opeq2d 4546 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
3627, 35eqtrd 2805 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152  lecple 16156  occoc 16157  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  TEndoctendo 36561  DVecHcdvh 36888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dvech 36889
This theorem is referenced by:  cdlemn7  37013  dihordlem6  37023
  Copyright terms: Public domain W3C validator