Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn11a 36813
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 37. (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn11a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn11a.l = (le‘𝐾)
cdlemn11a.j = (join‘𝐾)
cdlemn11a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn11a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn11a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn11a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.d + = (+g𝑈)
cdlemn11a.s = (LSSum‘𝑈)
cdlemn11a.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn11a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
cdlemn11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   ,𝑁   𝑃,   𝑄,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   + ()   ()   𝑅()   𝑈()   𝐸()   𝐹()   𝐺()   𝐼()   𝐽()   ()   𝑂()   𝑋()

Proof of Theorem cdlemn11a
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemn11a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 cdlemn11a.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn11a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn11a.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 35623 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
763ad2ant1 1102 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp22 1115 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
9 cdlemn11a.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn11a.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 36184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) → 𝐺𝑇)
121, 7, 8, 11syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝐺𝑇)
13 tendospid 36623 . . . 4 (𝐺𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = 𝐺)
1412, 13syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = 𝐺)
1514eqcomd 2657 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺))
16 cdlemn11a.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
174, 9, 16tendoidcl 36374 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
18173ad2ant1 1102 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
19 cdlemn11a.J . . . 4 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
20 riotaex 6655 . . . . 5 (𝑇 (𝑃) = 𝑁) ∈ V
2110, 20eqeltri 2726 . . . 4 𝐺 ∈ V
22 fvex 6239 . . . . . 6 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
239, 22eqeltri 2726 . . . . 5 𝑇 ∈ V
24 resiexg 7144 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → ( I ↾ 𝑇) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝑇) ∈ V
262, 3, 4, 5, 9, 16, 19, 10, 21, 25dicopelval2 36787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁) ↔ (𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
271, 8, 26syl2anc 694 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁) ↔ (𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
2815, 18, 27mpbir2and 977 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  cres 5145  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  lecple 15995  occoc 15996  joincjn 16991  LSSumclsm 18095  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  TEndoctendo 36357  DVecHcdvh 36684  DIsoBcdib 36744  DIsoCcdic 36778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-dic 36779
This theorem is referenced by:  cdlemn11b  36814
  Copyright terms: Public domain W3C validator