Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml5N 36790
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1227 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 36600 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0𝐸)
9 simpl2l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 36636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ( 0𝑈) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 573 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 0 )
12 simpr 471 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2808 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 𝑉)
14 coeq1 5417 . . . . 5 (𝑠 = 0 → (𝑠𝑈) = ( 0𝑈))
1514eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑠 = 0 → ((𝑠𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0𝑈) = 𝑉))
1615rspcev 3460 . . 3 (( 0𝐸 ∧ ( 0𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 573 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
18 simpl1 1227 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1229 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝑈𝐸𝑉𝐸))
20 simpl3 1231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑈0 )
21 simpr 471 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑉0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 36789 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3030 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cmpt 4864   I cid 5157  cres 5252  ccom 5254  cfv 6030  Basecbs 16064  HLchlt 35159  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  trLctrl 35968  TEndoctendo 36562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tendo 36565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator