Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml4N 36787
 Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml4N
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleml1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdleml1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdleml1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 36376 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
543ad2ant1 1128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑓𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simp11 1246 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp12l 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
8 simp12r 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑉𝐸)
9 simp2 1132 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑓𝑇)
10 simp3 1133 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11 simp13l 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈0 )
12 simp13r 1374 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑉0 )
13 cdleml1.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
161, 2, 3, 13, 14, 15cdleml3N 36786 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
176, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16syl133anc 1500 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
1817rexlimdv3a 3171 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → (∃𝑓𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉))
195, 18mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ↦ cmpt 4881   I cid 5173   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966  TEndoctendo 36560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563 This theorem is referenced by:  cdleml5N  36788
 Copyright terms: Public domain W3C validator