Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml3N 36768
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑓,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇))
3 simp31 1252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp32 1253 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈0 )
5 simp21 1249 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈𝐸)
6 simp23 1251 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓𝑇)
7 cdleml1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdleml1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdleml1.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdleml1.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11 cdleml3.o . . . . . . 7 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
127, 8, 9, 10, 11tendoid0 36615 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
131, 5, 6, 3, 12syl112anc 1481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
1413necon3bid 2976 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈0 ))
154, 14mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
16 simp33 1254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉0 )
17 simp22 1250 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉𝐸)
187, 8, 9, 10, 11tendoid0 36615 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
191, 17, 6, 3, 18syl112anc 1481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
2019necon3bid 2976 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉0 ))
2116, 20mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
237, 8, 9, 22, 10cdleml2N 36767 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
241, 2, 3, 15, 21, 23syl113anc 1489 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
25 simpl1 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
27 simpl21 1321 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑈𝐸)
28 simpl23 1325 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑓𝑇)
298, 9, 10tendocoval 36556 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3025, 26, 27, 28, 29syl121anc 1482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3130eqeq1d 2762 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓)))
32 simp11 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simp2 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑠𝐸)
34 simp121 1390 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈𝐸)
358, 10tendococl 36562 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑈𝐸) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
37 simp122 1391 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑉𝐸)
38 simp3 1133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓))
39 simp123 1392 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓𝑇)
40 simp131 1393 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
417, 8, 9, 10tendocan 36614 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
4232, 36, 37, 38, 39, 40, 41syl132anc 1495 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
43423expia 1115 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4431, 43sylbird 250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4544reximdva 3155 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉))
4624, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cmpt 4881   I cid 5173  cres 5268  ccom 5270  cfv 6049  Basecbs 16059  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  trLctrl 35948  TEndoctendo 36542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-riotaBAD 34742
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-undef 7568  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tendo 36545
This theorem is referenced by:  cdleml4N  36769
  Copyright terms: Public domain W3C validator