Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkyyN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkyyN 36764
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: clean up (𝑏𝑌𝐺) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk5a.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk5a.u1 𝑉 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkyyN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏,𝑗,𝑔,𝑧   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑗,𝑋   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,𝑗,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   𝑆,𝑏,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑒,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑒,𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑋(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑏,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)

Proof of Theorem cdlemkyyN
StepHypRef Expression
1 simp11 1244 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1245 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑊𝐻)
31, 2jca 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp13 1246 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
5 simp211 1394 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
6 simp3l 1242 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏𝑇)
7 simp213 1396 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑁𝑇)
8 simp3r2 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
9 simp212 1395 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10 simp3r1 1364 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
119, 10jca 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 simp23 1249 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 cdlemk5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemk5.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 cdlemk5.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
16 cdlemk5.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
17 cdlemk5.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemk5.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemk5.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemk5.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 cdlemk5a.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk30 36696 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 22syl233anc 1504 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
24 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
2523, 24syl6eqr 2822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = 𝑍)
2625oveq1d 6807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏))) = (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏))))
2726oveq2d 6808 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
285, 6, 73jca 1121 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇))
29 simp22l 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
30 simp3r3 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))
318, 30jca 495 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
32 simp22r 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
339, 10, 323jca 1121 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
34 cdlemk5a.u1 . . . 4 𝑉 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
3513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34cdlemk31 36698 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
363, 4, 28, 29, 31, 33, 12, 35syl223anc 1501 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
375, 9jca 495 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38 simp22 1248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39 simp3 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
40 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
41 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
4213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 40, 41cdlemk42yN 36746 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
433, 37, 38, 7, 12, 4, 39, 42syl331anc 1500 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
4427, 36, 433eqtr4rd 2815 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  csb 3680   class class class wbr 4784  cmpt 4861   I cid 5156  ccnv 5248  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  crio 6752  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  trLctrl 35960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-riotaBAD 34754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-undef 7550  df-map 8010  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator