Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk4 36643
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use 𝑋 for their h, since 𝐻 is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 simp3l 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 35948 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp2r 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
125, 6, 7, 8ltrnat 35948 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
132, 11, 4, 12syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
14 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatlej1 35183 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
161, 10, 13, 15syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
17 hllat 35172 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
181, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2019, 6atbase 35098 . . . . . 6 ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2110, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2219, 6atbase 35098 . . . . . 6 ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2313, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2419, 14latjcl 17273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
2518, 21, 23, 24syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
26 simp1r 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
2719, 7lhpbase 35806 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2826, 27syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
295, 14, 6hlatlej2 35184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
301, 10, 13, 29syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
31 cdlemk.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 35672 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃))) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
347, 8ltrncnv 35954 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
352, 3, 34syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
367, 8ltrnco 36528 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
372, 11, 35, 36syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
385, 6, 7, 8ltrnel 35947 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
393, 38syld3an2 1519 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
40 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 35972 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
422, 37, 39, 41syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
4319, 7, 8ltrn1o 35932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
442, 3, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
45 f1ococnv1 6328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4746coeq2d 5441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
4819, 7, 8ltrn1o 35932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
492, 11, 48syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
50 f1of 6300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝑋:𝐵𝐵)
51 fcoi1 6240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵𝐵 → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5347, 52eqtr2d 2796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)))
54 coass 5816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹))
5553, 54syl6eqr 2813 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹))
5655fveq1d 6356 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃))
575, 6, 7, 8ltrncoval 35953 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5956, 58eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
6059oveq2d 6831 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))))
6160eqcomd 2767 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
6261oveq1d 6830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6342, 62eqtrd 2795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6463oveq2d 6831 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)))
655, 6, 7, 8ltrnel 35947 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
6611, 65syld3an2 1519 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
67 eqid 2761 . . . . . . 7 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 35829 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
692, 66, 68syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
7069oveq2d 6831 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)))
71 hlol 35170 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
721, 71syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
7319, 31, 67olm11 35036 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7472, 25, 73syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7570, 74eqtr2d 2796 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
7633, 64, 753eqtr4rd 2806 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
7716, 76breqtrd 4831 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805   I cid 5174  ccnv 5266  cres 5269  ccom 5271  wf 6046  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  joincjn 17166  meetcmee 17167  1.cp1 17260  Latclat 17267  OLcol 34983  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-undef 7570  df-map 8028  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  36644
  Copyright terms: Public domain W3C validator