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Theorem cdlemk26-3 36694
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the 𝑥 requirements from cdlemk25-3 36692. (Contributed by NM, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk26-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk26-3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11l 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝑊𝐻)
3 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6cdlemftr3 36353 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷))))
81, 2, 7syl2anc 696 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → ∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷))))
9 simp111 1387 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simp112 1388 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇))
11 simp13l 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝐺𝑇)
12113ad2ant1 1128 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺𝑇)
13 simp13r 1374 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝐶𝑇)
14133ad2ant1 1128 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐶𝑇)
15 simp2 1132 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑥𝑇)
1612, 14, 153jca 1123 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇))
17 simp121 1390 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
18 simp122 1391 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
19 simp23l 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20193ad2ant1 1128 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
21 simp23r 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22213ad2ant1 1128 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
23 simp3l 1244 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2420, 22, 233jca 1123 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
25 simp13l 1373 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)))
26 simp13r 1374 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
27 simp3r3 1368 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷))
28 simp3r1 1366 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹))
29 simp3r2 1367 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺))
3029necomd 2985 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥))
3127, 28, 303jca 1123 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))
32 cdlemk3.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
33 cdlemk3.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
34 cdlemk3.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
35 cdlemk3.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
36 cdlemk3.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
37 cdlemk3.u1 . . . . 5 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
383, 32, 33, 34, 35, 4, 5, 6, 36, 37cdlemk25-3 36692 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
399, 10, 16, 17, 18, 24, 25, 26, 31, 38syl333anc 1509 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) ∧ 𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
4039rexlimdv3a 3169 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → (∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃)))
418, 40mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wrex 3049   class class class wbr 4802  cmpt 4879   I cid 5171  ccnv 5263  cres 5266  ccom 5268  cfv 6047  crio 6771  (class class class)co 6811  cmpt2 6813  Basecbs 16057  lecple 16148  joincjn 17143  meetcmee 17144  Atomscatm 35051  HLchlt 35138  LHypclh 35771  LTrncltrn 35888  trLctrl 35946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-riotaBAD 34740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-undef 7566  df-map 8023  df-preset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-oposet 34964  df-ol 34966  df-oml 34967  df-covers 35054  df-ats 35055  df-atl 35086  df-cvlat 35110  df-hlat 35139  df-llines 35285  df-lplanes 35286  df-lvols 35287  df-lines 35288  df-psubsp 35290  df-pmap 35291  df-padd 35583  df-lhyp 35775  df-laut 35776  df-ldil 35891  df-ltrn 35892  df-trl 35947
This theorem is referenced by:  cdlemk27-3  36695
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