Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemi 36629
Description: Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemi ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)

Proof of Theorem cdlemi
StepHypRef Expression
1 simp11l 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑈𝐸)
4 simp13 1247 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
5 simp2r 1242 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 cdlemi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdlemi.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdlemi.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdlemi.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemi.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemi.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemi.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemi.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 36627 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
161, 2, 3, 4, 5, 15syl221anc 1487 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
17 simp12 1246 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi2 36628 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
191, 2, 3, 17, 4, 5, 18syl231anc 1496 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
20 hllat 35172 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
211, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simp11 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2311, 12, 14tendocl 36576 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
2422, 3, 4, 23syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
25 simp2rl 1308 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
266, 10atbase 35098 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
286, 11, 12ltrncl 35933 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
2922, 24, 27, 28syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
306, 11, 12, 13trlcl 35973 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
3122, 4, 30syl2anc 573 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
326, 8latjcl 17259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3321, 27, 31, 32syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3411, 12, 14tendocl 36576 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
3522, 3, 17, 34syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
366, 11, 12ltrncl 35933 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3722, 35, 27, 36syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3811, 12ltrncnv 35954 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3922, 17, 38syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
4011, 12ltrnco 36528 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4122, 4, 39, 40syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
426, 11, 12, 13trlcl 35973 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4322, 41, 42syl2anc 573 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
446, 8latjcl 17259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
4521, 37, 43, 44syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
466, 7, 9latlem12 17286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4721, 29, 33, 45, 46syl13anc 1478 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4816, 19, 47mpbi2and 691 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
49 hlatl 35169 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
501, 49syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
517, 10, 11, 12ltrnat 35948 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐴) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
5222, 24, 25, 51syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
537, 10, 11, 12ltrnel 35947 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
5422, 35, 5, 53syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
556, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 36627 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
561, 2, 3, 17, 5, 55syl221anc 1487 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
575, 54, 563jca 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))))
58 eqid 2771 . . . . . . 7 ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
596, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58cdlemh 36626 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊))
6059simpld 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
6157, 60syld3an2 1518 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
627, 10atcmp 35120 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6350, 52, 61, 62syl3anc 1476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6448, 63mpbid 222 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
65 cdlemi.s . 2 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6664, 65syl6eqr 2823 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786   I cid 5156  ccnv 5248  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967  TEndoctendo 36561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564
This theorem is referenced by:  cdlemj1  36630
  Copyright terms: Public domain W3C validator