Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh1 36617
 Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemh.l = (le‘𝐾)
cdlemh.j = (join‘𝐾)
cdlemh.m = (meet‘𝐾)
cdlemh.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
21oveq1i 6802 . 2 (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3 simp11l 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp11 1244 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp13 1246 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
6 simp12 1245 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
7 simp3r 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
87necomd 2997 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
9 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12trlcocnvat 36526 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
15 hllat 35165 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
163, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simp2l 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
18 cdlemh.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1918, 9atbase 35091 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
2118, 10, 11, 12trlcl 35966 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
224, 5, 21syl2anc 565 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
23 cdlemh.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2418, 23latjcl 17258 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
2516, 20, 22, 24syl3anc 1475 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
26 simp2r 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
2718, 23, 9hlatjcl 35168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
283, 26, 14, 27syl3anc 1475 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
29 cdlemh.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3029, 23, 9hlatlej2 35177 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
313, 26, 14, 30syl3anc 1475 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
32 cdlemh.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3318, 29, 23, 32, 9atmod4i1 35667 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
343, 14, 25, 28, 31, 33syl131anc 1488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3510, 11ltrncnv 35947 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
364, 6, 35syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
3723, 10, 11, 12trljco2 36543 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
384, 5, 36, 37syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3910, 11, 12trlcnv 35967 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
404, 6, 39syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4140oveq1d 6807 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4238, 41eqtrd 2804 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4342oveq2d 6808 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4410, 11ltrnco 36521 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
454, 5, 36, 44syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4618, 10, 11, 12trlcl 35966 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
474, 45, 46syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4818, 23latjass 17302 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4916, 20, 22, 47, 48syl13anc 1477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5018, 10, 11, 12trlcl 35966 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
514, 6, 50syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5218, 23latjass 17302 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5316, 20, 51, 47, 52syl13anc 1477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5443, 49, 533eqtr4d 2814 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5554oveq1d 6807 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
56 simp3l 1242 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)))
5718, 9atbase 35091 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5826, 57syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐵)
5918, 23latjcl 17258 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6016, 20, 51, 59syl3anc 1475 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6118, 29, 23latjlej1 17272 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6216, 58, 60, 47, 61syl13anc 1477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6356, 62mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6418, 23latjcl 17258 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6516, 60, 47, 64syl3anc 1475 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6618, 29, 32latleeqm2 17287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6716, 28, 65, 66syl3anc 1475 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6863, 67mpbid 222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6934, 55, 683eqtrd 2808 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
702, 69syl5eq 2816 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   class class class wbr 4784  ◡ccnv 5248   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Latclat 17252  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  trLctrl 35960 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-riotaBAD 34754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-undef 7550  df-map 8010  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961 This theorem is referenced by:  cdlemh  36619
 Copyright terms: Public domain W3C validator