Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1cex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1cex 36347
Description: Any translation is one of our 𝐹 s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 36322? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝑞,𝐴   𝑓,𝐹,𝑝,𝑞   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞   𝑓,𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑓,𝑝,𝑞   𝑇,𝑓,𝑝,𝑞   𝑓,𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 cdlemg1c.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg1c.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemg1c.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4ltrnel 35897 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
653expa 1111 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
76simpld 477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
8 simprr 813 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ 𝑝 𝑊)
96simprd 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑝) 𝑊)
10 simpll 807 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
12 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 2, 3, 4cdlemeiota 36344 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1463 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
15 breq1 4795 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑞 𝑊 ↔ (𝐹𝑝) 𝑊))
1615notbid 307 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (¬ 𝑞 𝑊 ↔ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
17 eqeq2 2759 . . . . . . . . 9 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((𝑓𝑝) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1817riotabidv 6764 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1918eqeq2d 2758 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) ↔ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝))))
2016, 193anbi23d 1539 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) ↔ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))))
2120rspcev 3437 . . . . 5 (((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
227, 8, 9, 14, 21syl13anc 1465 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
231, 2, 3lhpexnle 35764 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2423adantr 472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2522, 24reximddv 3144 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
2625ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
27 simp1 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp2l 1218 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑝𝐴)
29 simp31 1228 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑝 𝑊)
3028, 29jca 555 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
31 simp2r 1219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑞𝐴)
32 simp32 1229 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3331, 32jca 555 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
34 simp33 1230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))
351, 2, 3, 4cdlemg1ci2 36345 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)
3627, 30, 33, 34, 35syl31anc 1466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹𝑇)
37363exp 1112 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)))
3837rexlimdvv 3163 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇))
3926, 38impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039   class class class wbr 4792  cfv 6037  crio 6761  lecple 16121  Atomscatm 35022  HLchlt 35109  LHypclh 35742  LTrncltrn 35859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-riotaBAD 34711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-undef 7556  df-map 8013  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-llines 35256  df-lplanes 35257  df-lvols 35258  df-lines 35259  df-psubsp 35261  df-pmap 35262  df-padd 35554  df-lhyp 35746  df-laut 35747  df-ldil 35862  df-ltrn 35863  df-trl 35918
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  36350
  Copyright terms: Public domain W3C validator