Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemftr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemftr3 36170
Description: Special case of cdlemf 36168 showing existence of non-identity translation with trace different from any 3 given lattice elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemftr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemftr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemftr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemftr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemftr3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑓,𝑍   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cdlemftr3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemftr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle3 35616 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
5 df-rex 2947 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
64, 5sylib 208 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
7 cdlemftr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemftr.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemftr.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
107, 1, 2, 3, 8, 9cdlemfnid 36169 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1110adantrrr 761 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 eqcom 2658 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑢 = (𝑅𝑓))
1312anbi1i 731 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1413rexbii 3070 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑇 ((𝑅𝑓) = 𝑢𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1511, 14sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → ∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16 simprrr 822 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))
1715, 16jca 553 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
1817ex 449 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
1918eximdv 1886 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
206, 19mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
21 rexcom4 3256 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
22 anass 682 . . . . . 6 (((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
2322exbii 1814 . . . . 5 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))))
24 fvex 6239 . . . . . 6 (𝑅𝑓) ∈ V
25 neeq1 2885 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑋 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑋))
26 neeq1 2885 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑌 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌))
27 neeq1 2885 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑅𝑓) → (𝑢𝑍 ↔ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))
2825, 26, 273anbi123d 1439 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍) ↔ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
2928anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑅𝑓) → ((𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍))))
3024, 29ceqsexv 3273 . . . . 5 (∃𝑢(𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍))) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3123, 30bitri 264 . . . 4 (∃𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3231rexbii 3070 . . 3 (∃𝑓𝑇𝑢((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
33 r19.41v 3118 . . . 4 (∃𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ (∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3433exbii 1814 . . 3 (∃𝑢𝑓𝑇 ((𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)))
3521, 32, 343bitr3ri 291 . 2 (∃𝑢(∃𝑓𝑇 (𝑢 = (𝑅𝑓) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢𝑋𝑢𝑌𝑢𝑍)) ↔ ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
3620, 35sylib 208 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑓) ≠ 𝑋 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑌 ∧ (𝑅𝑓) ≠ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685   I cid 5052  cres 5145  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemftr2  36171  cdlemk26-3  36511  cdlemk11t  36551
  Copyright terms: Public domain W3C validator